Las matrices son herramientas matemáticas fundamentales que probablemente ya hayas utilizado sin darte cuenta: desde los sistemas de ecuaciones hasta los gráficos por ordenador que ves en videojuegos. En matrices bachillerato, este concepto cobra especial relevancia, ya que forma parte del currículo de Matemáticas tanto en primero como en segundo curso. ¿Preparado para dominar esta herramienta que te acompañará si estudias cualquier ingeniería o ciencia en el futuro?
¿Qué son las matrices y para qué sirven?
Una matriz es simplemente una tabla rectangular de números organizados en filas y columnas. Se representa generalmente con letras mayúsculas (A, B, C…) y sus elementos con letras minúsculas acompañadas de subíndices que indican su posición. Por ejemplo, a₂₃ representa el elemento de la fila 2, columna 3.
Las matrices permiten resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma eficiente, representar transformaciones geométricas y organizar datos complejos. En la vida real, se utilizan en economía para modelar sistemas productivos, en física para describir estados cuánticos, e incluso en las redes sociales para gestionar conexiones entre usuarios.
La dimensión o orden de una matriz se expresa como m×n, donde m es el número de filas y n el número de columnas. Así, una matriz 3×2 tiene tres filas y dos columnas.
Operaciones con matrices: suma, resta y producto
Suma y resta de matrices
Para sumar o restar matrices, estas deben tener exactamente la misma dimensión. La operación se realiza elemento a elemento. Veamos un ejemplo práctico:
Si A = [2 3; 1 4] y B = [1 2; 3 1], entonces:
A + B = [2+1 3+2; 1+3 4+1] = [3 5; 4 5]
Propiedades importantes:
– Propiedad conmutativa: A + B = B + A
– Elemento neutro: la matriz nula (todos sus elementos son cero)
– Propiedad asociativa: (A + B) + C = A + (B + C)
Producto de matrices
El producto de matrices es más complejo y requiere una condición fundamental: el número de columnas de la primera matriz debe coincidir con el número de filas de la segunda. Si multiplicamos una matriz A(m×n) por B(n×p), el resultado será una matriz C(m×p).
Ejemplo resuelto de producto:
A = [1 2; 3 4] (dimensión 2×2)
B = [2 0; 1 3] (dimensión 2×2)
A·B = [(1·2+2·1) (1·0+2·3); (3·2+4·1) (3·0+4·3)] = [4 6; 10 12]
Observa que el producto de matrices NO es conmutativo: A·B ≠ B·A en general. Esta es una diferencia crucial con la multiplicación de números reales que debes tener presente en tus ejercicios de matrices bachillerato.
Producto por un escalar
Multiplicar una matriz por un número real (escalar) k significa multiplicar cada elemento de la matriz por ese número:
Si k = 3 y A = [1 2; 0 -1], entonces 3A = [3 6; 0 -3]
Determinantes: ¿qué nos dicen sobre una matriz?
El determinante es un número asociado a toda matriz cuadrada (mismo número de filas que de columnas) que proporciona información valiosa sobre sus propiedades. Se denota como det(A) o |A|.
Cálculo de determinantes según el orden
Matriz 2×2: Para A = [a b; c d], det(A) = ad – bc
Ejemplo: Si A = [3 2; 1 4], entonces det(A) = 3·4 – 2·1 = 12 – 2 = 10
Matriz 3×3: Utilizamos la regla de Sarrus o el método de adjuntos. Con Sarrus:
Para A = [a b c; d e f; g h i]
det(A) = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi
Ejemplo resuelto 3×3:
A = [2 1 3; 0 -1 2; 1 0 1]
det(A) = 2·(-1)·1 + 1·2·1 + 3·0·0 – 3·(-1)·1 – 2·2·0 – 1·0·1
det(A) = -2 + 2 + 0 + 3 – 0 – 0 = 3
Propiedades fundamentales de los determinantes
| Propiedad | Descripción |
|---|---|
| Determinante nulo | Si det(A) = 0, la matriz NO tiene inversa (es singular) |
| Determinante del producto | det(A·B) = det(A)·det(B) |
| Determinante de la traspuesta | det(Aᵀ) = det(A) |
| Intercambio de filas | Cambia el signo del determinante |
| Fila proporcional | Si dos filas son proporcionales, det(A) = 0 |
Matriz inversa y resolución de sistemas
Una matriz A tiene matriz inversa A⁻¹ si se cumple que A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I (matriz identidad). La condición necesaria y suficiente para que exista la inversa es que det(A) ≠ 0.
Método para calcular la inversa (matriz 2×2):
Si A = [a b; c d] y det(A) ≠ 0, entonces:
A⁻¹ = 1/det(A) · [d -b; -c a]
Aplicación práctica: Los sistemas de ecuaciones lineales AX = B se resuelven mediante X = A⁻¹B (si la inversa existe). Esta es una aplicación directa de las matrices bachillerato que encontrarás en problemas de cinemática, economía o geometría.
Ejercicio completo resuelto paso a paso
Enunciado: Dadas las matrices A = [2 1; 1 3] y B = [1 -1; 2 0], calcula:
a) A + B
b) A·B
c) det(A)
d) A⁻¹
Soluciones:
a) A + B = [2+1 1-1; 1+2 3+0] = [3 0; 3 3]
b) A·B = [(2·1+1·2) (2·(-1)+1·0); (1·1+3·2) (1·(-1)+3·0)] = [4 -2; 7 -1]
c) det(A) = 2·3 – 1·1 = 6 – 1 = 5
d) Como det(A) = 5 ≠ 0, existe A⁻¹:
A⁻¹ = 1/5 · [3 -1; -1 2] = [3/5 -1/5; -1/5 2/5]
Verificación: A·A⁻¹ = [1 0; 0 1] ✓
Conclusión
Dominar las matrices y determinantes te proporciona herramientas matemáticas esenciales para tu etapa en bachillerato y estudios superiores. Desde resolver sistemas de ecuaciones complejos hasta entender transformaciones geométricas, estos conceptos son fundamentales en cualquier carrera científico-técnica.
Recuerda practicar especialmente el cálculo de determinantes y el producto matricial, ya que son las operaciones donde más errores se cometen. No te desanimes si al principio te resulta abstracto: con la práctica verás cómo todo cobra sentido. ¿Has intentado ya resolver sistemas utilizando matrices inversas? Es sorprendentemente más eficiente que los métodos tradicionales.