Pulsa una cuerda de guitarra y suena una nota. Pon el dedo justo en su mitad, toca suavemente y vuelve a pulsar: suena la misma nota, pero una octava más aguda. Detrás de ese truco que usan los guitarristas, de que una flauta suene distinta a un clarinete o de que el microondas deje zonas frías en la comida, hay un mismo fenómeno: las ondas estacionarias.
En este artículo verás qué son, cómo se obtiene su ecuación, qué son los nodos y los vientres, cómo se calculan los armónicos de cuerdas y tubos sonoros y cinco ejercicios resueltos. Las ondas estacionarias son un caso particular de interferencia, así que, si tienes ese tema reciente, vas a ir rápido.
Qué es una onda estacionaria
Una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos ondas iguales (misma amplitud, frecuencia y longitud de onda) que viajan en sentidos opuestos por el mismo medio. Lo habitual es que una sea la onda que avanza y la otra, su reflexión en un extremo.
El resultado es curioso: la perturbación ya no parece avanzar. La cuerda vibra «en el sitio», con puntos que no se mueven nunca y otros que oscilan con la máxima amplitud. Por eso se llama estacionaria.
- Nodos: puntos que permanecen siempre en reposo (amplitud cero). Ahí las dos ondas se anulan en todo momento.
- Vientres (o antinodos): puntos que oscilan con la máxima amplitud. Ahí las dos ondas se suman constructivamente.
Diferencias con una onda viajera
| Onda viajera | Onda estacionaria | |
|---|---|---|
| ¿Avanza? | Sí, a velocidad v | No: el perfil oscila sin desplazarse |
| ¿Transporta energía? | Sí | No hay transporte neto: la energía queda confinada entre los nodos |
| Amplitud | Igual en todos los puntos | Depende de la posición: 0 en los nodos, máxima en los vientres |
| Fase | Cada punto va con un retraso respecto al anterior | Todos los puntos entre dos nodos vibran en fase |
La ecuación de la onda estacionaria
Partimos de dos ondas armónicas iguales que viajan en sentidos opuestos (repasa la notación en la ecuación fundamental de las ondas):
y₁ = A · sen(kx − ωt) y y₂ = A · sen(kx + ωt)
Sumándolas y usando la identidad trigonométrica sen α + sen β = 2 · sen((α + β)/2) · cos((α − β)/2):
y = 2A · sen(kx) · cos(ωt)
Fíjate en lo que dice esta ecuación. La parte cos(ωt) es un movimiento armónico simple en el tiempo, como el que vimos en las ecuaciones del MAS. Y la parte 2A · sen(kx) es la amplitud con la que oscila cada punto, que depende de dónde esté. Ya no aparece el término (kx − ωt) que indicaba que la onda avanzaba.
Según cómo se refleje la onda, algunos libros escriben y = 2A · cos(kx) · sen(ωt). Es la misma física con el origen de x desplazado; lo importante es identificar qué factor depende de x (la amplitud) y cuál de t (la oscilación).
Posición de nodos y vientres
Con y = 2A · sen(kx) · cos(ωt):
- Nodos, donde sen(kx) = 0: x = n · λ/2 (n = 0, 1, 2…)
- Vientres, donde sen(kx) = ±1: x = (2n + 1) · λ/4
Dos datos que se preguntan mucho: la distancia entre dos nodos consecutivos (o dos vientres) es λ/2, y entre un nodo y el vientre siguiente hay λ/4.
Ondas estacionarias en cuerdas
Una cuerda de guitarra, violín o piano está fija por los dos extremos, así que en ambos extremos tiene que haber un nodo. Esta condición limita las ondas estacionarias posibles: en la longitud L de la cuerda tiene que caber un número entero de medias longitudes de onda.
L = n · λ/2 → λₙ = 2L/n → fₙ = n · v/(2L) (n = 1, 2, 3…)
- n = 1 es el modo fundamental o primer armónico: un solo vientre en el centro. Determina la nota que oímos.
- n = 2, 3… son los armónicos superiores, con frecuencias 2, 3… veces la fundamental. En la cuerda aparecen todos.
La velocidad de la onda en la cuerda depende de su tensión T y de su densidad lineal de masa μ (masa por unidad de longitud):
v = √(T/μ)
Esto explica cómo se afina y se toca un instrumento de cuerda: más tensión (girar la clavija) sube la nota; cuerdas más gruesas (mayor μ) dan notas más graves; y acortar la cuerda pisando un traste reduce L y sube la nota.
Ondas estacionarias en tubos sonoros
En los instrumentos de viento lo que vibra es el aire dentro de un tubo. La regla cambia: en un extremo cerrado el aire no puede moverse, así que hay un nodo de desplazamiento; en un extremo abierto el aire se mueve libremente y hay un vientre.
Tubo abierto por los dos extremos
Vientre en ambos extremos. Igual que en la cuerda, caben medias longitudes de onda enteras y aparecen todos los armónicos:
fₙ = n · v/(2L) (n = 1, 2, 3…)
Es el caso aproximado de la flauta travesera.
Tubo cerrado por un extremo
Nodo en el extremo cerrado y vientre en el abierto. Ahora en L caben cuartos de longitud de onda impares, y solo aparecen los armónicos impares:
L = (2n − 1) · λ/4 → fₙ = (2n − 1) · v/(4L) (n = 1, 2, 3…)
Consecuencia: con la misma longitud, un tubo cerrado suena una octava más grave que uno abierto (su fundamental es la mitad). Y como le faltan los armónicos pares, su timbre es distinto. Es una de las razones por las que el clarinete, que se comporta aproximadamente como un tubo cerrado, suena tan diferente de la flauta.
Resumen para el examen
| Sistema | Extremos | Frecuencias | Armónicos |
|---|---|---|---|
| Cuerda fija | Nodo – Nodo | fₙ = n · v/(2L) | Todos |
| Tubo abierto | Vientre – Vientre | fₙ = n · v/(2L) | Todos |
| Tubo cerrado | Nodo – Vientre | fₙ = (2n − 1) · v/(4L) | Solo impares |
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1. Analizar la ecuación
Enunciado. Una onda estacionaria tiene la ecuación y = 0,04 · sen(2πx) · cos(100πt), en unidades del SI. Calcula la amplitud y la frecuencia de las ondas que la forman, su longitud de onda, su velocidad, y la posición de los nodos y vientres.
Solución. Comparando con y = 2A · sen(kx) · cos(ωt):
- 2A = 0,04 m → A = 0,02 m (amplitud de cada onda componente).
- ω = 100π rad/s → f = ω/2π = 50 Hz.
- k = 2π m⁻¹ → λ = 2π/k = 1 m.
- v = λ · f = 1 · 50 = 50 m/s.
- Nodos en x = n · λ/2: x = 0; 0,5; 1; 1,5… m.
- Vientres en x = (2n + 1) · λ/4: x = 0,25; 0,75; 1,25… m, donde la amplitud es 0,04 m.
Ejercicio 2. La cuerda de guitarra
Enunciado. La cuerda La de una guitarra mide 65 cm entre sus extremos fijos y su modo fundamental es de 110 Hz. Su densidad lineal es 3,9 · 10⁻³ kg/m. Calcula la velocidad de las ondas en la cuerda y su tensión.
Solución. En el fundamental, λ₁ = 2L = 1,30 m.
v = λ₁ · f₁ = 1,30 · 110 = 143 m/s
De v = √(T/μ) despejamos la tensión:
T = μ · v² = 3,9 · 10⁻³ · 143² ≈ 79,8 N
Unos 80 N, el peso de una masa de 8 kg colgando de la cuerda. Multiplicado por seis cuerdas, el mástil de una guitarra soporta una tensión considerable.
Ejercicio 3. Pisar un traste y cambiar la tensión
Enunciado. Con la misma cuerda del ejercicio 2 (110 Hz): a) ¿qué nota da si se acorta su longitud vibrante a la mitad? b) ¿Y si se acorta a 2/3? c) ¿Qué pasa con la frecuencia si se duplica la tensión?
Solución. Como f = v/(2L), la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud:
- a) L/2 → f = 220 Hz: el doble, una octava más aguda (el traste 12 está justo en la mitad de la cuerda).
- b) 2L/3 → f = 110 · 3/2 = 165 Hz: una quinta por encima. Estas proporciones sencillas (2:1, 3:2) son las que estudió la escuela pitagórica hace más de 2.500 años con el monocordio.
- c) Si T se duplica, v = √(T/μ) se multiplica por √2, y la frecuencia también: f ≈ 110 · 1,414 ≈ 155,6 Hz.
Ejercicio 4. Tubo de órgano abierto y cerrado
Enunciado. Un tubo de órgano mide 85 cm. Calcula las tres primeras frecuencias que puede emitir si está abierto por los dos extremos y si está cerrado por uno. v = 340 m/s.
Solución.
- Abierto: fₙ = n · 340/(2 · 0,85) = n · 200 → 200, 400 y 600 Hz.
- Cerrado: fₙ = (2n − 1) · 340/(4 · 0,85) = (2n − 1) · 100 → 100, 300 y 500 Hz.
El tubo cerrado tiene la fundamental a la mitad (una octava más grave) y le faltan los armónicos pares. Los organeros aprovechan esto: con tubos tapados consiguen notas graves sin necesidad de tubos el doble de largos.
Ejercicio 5. Medir la velocidad de la luz con un microondas
Enunciado. Se quita el plato giratorio de un microondas y se calienta unos segundos una tableta de chocolate. Aparecen zonas fundidas separadas unos 6,1 cm. Si la frecuencia del horno es 2,45 GHz, estima la velocidad de la luz.
Solución. Dentro del horno se forman ondas estacionarias de microondas. El chocolate se funde en los vientres, donde la energía es máxima, y dos vientres consecutivos están separados λ/2:
λ = 2 · 0,061 = 0,122 m
c = λ · f = 0,122 · 2,45 · 10⁹ ≈ 3,0 · 10⁸ m/s
Un experimento casero clásico, y la explicación de por qué los microondas llevan plato giratorio: sin él, la comida tendría zonas muy calientes (los vientres) y otras frías (los nodos). En la práctica la distribución es tridimensional y el resultado es aproximado, pero el orden de magnitud sale muy bien.
Errores típicos
- Confundir A con 2A. En y = 2A · sen(kx) · cos(ωt), A es la amplitud de cada onda componente; la amplitud máxima (en los vientres) es 2A.
- Pensar que la distancia entre nodos es λ. Es λ/2.
- Usar la fórmula de la cuerda para un tubo cerrado. El tubo cerrado tiene 4L en el denominador y solo armónicos impares.
- Olvidar que la velocidad en la cuerda no es la del sonido. Las ondas en la cuerda viajan a √(T/μ); el sonido que producen viaja por el aire a unos 340 m/s, pero con la misma frecuencia.
Curiosidades
El timbre: por qué un piano y una guitarra no suenan igual
Cuando un instrumento toca un La de 440 Hz, no vibra solo en el fundamental: vibra a la vez en varios armónicos (880, 1.320, 1.760 Hz…) con intensidades distintas. Esa «receta» de armónicos es el timbre, y es lo que permite distinguir un piano de una guitarra o de una voz que cantan la misma nota.
Los armónicos de guitarra
El truco del principio: al apoyar el dedo suavemente en la mitad de la cuerda, obligas a que ahí haya un nodo. El fundamental (que tiene un vientre en el centro) desaparece, y solo sobreviven los armónicos con nodo en esa posición. Por eso suena una octava más aguda y con un sonido más puro, como de campanita.
Las figuras de Chladni
A finales del siglo XVIII, el físico alemán Ernst Chladni esparció arena sobre placas metálicas y las hizo vibrar con un arco de violín. La arena se acumulaba en las líneas nodales, dibujando figuras geométricas espectaculares: ondas estacionarias en dos dimensiones. Los fabricantes de guitarras y violines siguen usando esta técnica para estudiar cómo vibran las tapas de sus instrumentos.
El mito del puente de Tacoma
El derrumbe del puente de Tacoma Narrows (EE. UU., 1940) aparece en muchos libros como ejemplo de resonancia: el viento habría coincidido con la frecuencia natural del puente. Pero el análisis de los ingenieros apunta a otro fenómeno, el flameo aeroelástico: el propio movimiento del puente modificaba las fuerzas del viento y se realimentaba. Es un buen recordatorio de que en ciencia también circulan explicaciones simplificadas que conviene revisar.
Para la PAU
- Saber obtener y = 2A · sen(kx) · cos(ωt) a partir de dos ondas que viajan en sentidos opuestos.
- Extraer A, k, ω, λ, f y v de una ecuación dada y calcular las posiciones de nodos y vientres.
- Dibujar los tres primeros modos de una cuerda o un tubo, señalando nodos y vientres.
- Aplicar fₙ = n · v/(2L) y v = √(T/μ) en cuerdas, y distinguir tubos abiertos y cerrados.
- Explicar con palabras las diferencias entre onda viajera y estacionaria.
Completa el bloque de ondas con difracción y el efecto Doppler, y repasa todas las fórmulas con el checklist de física para la EVAU.
Preguntas para seguir pensando
- Si una onda estacionaria no transporta energía neta, ¿de dónde sale la energía del sonido que oímos al tocar una guitarra?
- ¿Por qué, al ir llenando de agua una botella, el sonido que hace sube de tono?
- Si respiras helio (donde el sonido viaja más rápido) la voz suena aguda. ¿Qué cambia exactamente: la frecuencia de las cuerdas vocales o las resonancias del tracto vocal?
- ¿Cómo cambiaría la nota de una guitarra si la tocases en un día muy frío y las cuerdas se tensaran por la contracción?
Preguntas frecuentes
¿Qué es una onda estacionaria?
La superposición de dos ondas iguales que viajan en sentidos opuestos. El resultado no avanza: hay puntos fijos (nodos) y puntos que vibran con máxima amplitud (vientres).
¿Qué distancia hay entre dos nodos consecutivos?
Media longitud de onda (λ/2). Entre un nodo y el vientre siguiente hay λ/4.
¿Qué son los armónicos?
Las frecuencias en las que puede vibrar una cuerda o un tubo. El primero es el fundamental; los demás son múltiplos enteros de él (en el tubo cerrado, solo los impares).
¿Por qué un tubo cerrado suena más grave que uno abierto de la misma longitud?
Porque en el tubo cerrado el fundamental ocupa un cuarto de longitud de onda (λ = 4L) y en el abierto media (λ = 2L). Su frecuencia fundamental es la mitad: una octava más grave.
¿Las ondas estacionarias transportan energía?
No hay transporte neto de energía a lo largo del medio: la energía oscila entre forma cinética y potencial en cada tramo entre nodos.
Fuentes
- Tipler, P. A. y Mosca, G. Física para la ciencia y la tecnología, vol. 1, capítulo de superposición y ondas estacionarias. Reverté.
- Universidad del País Vasco (UPV/EHU). Ondas: simulaciones.
- Billah, K. Y. y Scanlan, R. H. (1991). Resonance, Tacoma Narrows bridge failure, and undergraduate physics textbooks. American Journal of Physics, 59(2), 118-124.
