Las funciones matemáticas bachillerato constituyen uno de los pilares fundamentales del currículo de Matemáticas I. ¿Te has preguntado alguna vez cómo los ingenieros calculan la trayectoria de un cohete o cómo los economistas predicen tendencias del mercado? La respuesta está en el dominio de las funciones. Este tema conecta conceptos algebraicos con aplicaciones reales, preparándote no solo para el examen sino para comprender el mundo que te rodea.
A lo largo de este material, desarrollaremos los conceptos esenciales del estudio de funciones, desde la definición básica hasta la resolución de problemas prácticos. No te preocupes si al principio parece complicado: iremos paso a paso, con ejemplos concretos que te ayudarán a afianzar cada concepto.
¿Qué es una función matemática y por qué es importante en bachillerato?
Una función es una relación entre dos conjuntos (dominio y codominio) que asigna a cada elemento del primero un único elemento del segundo. Matemáticamente, escribimos f: A → B, donde A es el dominio y B el conjunto de llegada.
Piénsalo así: imagina que tienes una máquina expendedora. Introduces una moneda (valor de entrada o variable independiente x) y obtienes un producto específico (valor de salida o variable dependiente y). Cada moneda te da un único producto, nunca dos diferentes. Eso es una función.
Las funciones matemáticas de bachillerato incluyen varios tipos fundamentales:
| Tipo de función | Expresión general | Característica principal |
|---|---|---|
| Lineal | f(x) = mx + n | Representa una recta con pendiente m |
| Cuadrática | f(x) = ax² + bx + c | Forma una parábola |
| Polinómica | f(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ | Grado mayor que 2 |
| Racional | f(x) = P(x)/Q(x) | Cociente de polinomios |
| Exponencial | f(x) = aˣ | La variable está en el exponente |
| Logarítmica | f(x) = log_a(x) | Inversa de la exponencial |
Dominio, recorrido y propiedades fundamentales de las funciones
El dominio de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x. Para determinarlo, debemos identificar las restricciones:
- En funciones con raíces de índice par: el radicando debe ser ≥ 0
- En funciones racionales: el denominador no puede ser cero
- En logaritmos: el argumento debe ser estrictamente positivo
Ejemplo práctico 1: Determina el dominio de f(x) = √(x – 3)
Solución: Para que exista la raíz cuadrada, necesitamos x – 3 ≥ 0, por tanto x ≥ 3. El dominio es Dom(f) = [3, +∞)
El recorrido (o rango) es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente y. En el ejemplo anterior, como la raíz cuadrada siempre da valores no negativos, el recorrido es Rec(f) = [0, +∞).
Las funciones matemáticas bachillerato presentan propiedades clave que debes dominar:
Crecimiento y decrecimiento: Una función es creciente en un intervalo si al aumentar x, también aumenta f(x). Es decreciente si ocurre lo contrario.
Simetría: Las funciones pueden ser pares (simétricas respecto al eje Y, cumpliendo f(-x) = f(x)) o impares (simétricas respecto al origen, cumpliendo f(-x) = -f(x)).
Continuidad: Intuitivamente, una función es continua cuando puedes dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel. Matemáticamente, debe cumplir que el límite en un punto coincida con el valor de la función en ese punto.
Ejercicios resueltos paso a paso
Ejercicio 1: Dada f(x) = x² – 4x + 3, determina sus raíces, vértice y representa gráficamente.
Solución detallada:
Paso 1 – Raíces: Igualamos a cero: x² – 4x + 3 = 0. Factorizando: (x – 1)(x – 3) = 0. Las raíces son x = 1 y x = 3.
Paso 2 – Vértice: La coordenada x del vértice es x = -b/2a = 4/2 = 2. Sustituyendo: f(2) = 4 – 8 + 3 = -1. El vértice es V(2, -1).
Paso 3 – Interpretación: La parábola se abre hacia arriba (a > 0), tiene su mínimo en (2, -1) y corta al eje X en x = 1 y x = 3.
Ejercicio 2: Calcula el dominio de g(x) = 1/(x² – 9)
Solución: El denominador no puede ser cero. Resolvemos x² – 9 = 0, obteniendo x² = 9, luego x = ±3. Por tanto, Dom(g) = ℝ – {-3, 3} o, en notación de intervalos: (-∞, -3) ∪ (-3, 3) ∪ (3, +∞)
Ejercicio 3: Estudia si h(x) = x³ – 3x es par, impar o ninguna.
Solución: Calculamos h(-x) = (-x)³ – 3(-x) = -x³ + 3x = -(x³ – 3x) = -h(x). Como cumple h(-x) = -h(x), la función es impar, simétrica respecto al origen.
Operaciones con funciones y composición
Las funciones pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse. Si tenemos f(x) y g(x), definimos:
- (f + g)(x) = f(x) + g(x)
- (f – g)(x) = f(x) – g(x)
- (f · g)(x) = f(x) · g(x)
- (f/g)(x) = f(x)/g(x), siempre que g(x) ≠ 0
La composición de funciones merece especial atención. La notación (f ∘ g)(x) significa f(g(x)): primero aplicamos g y luego f al resultado. ¡Cuidado! No es lo mismo (f ∘ g) que (g ∘ f).
Ejemplo práctico 2: Sean f(x) = 2x + 1 y g(x) = x². Calcula (f ∘ g)(x) y (g ∘ f)(x).
Solución:
(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = 2x² + 1
(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1
Como ves, efectivamente son distintas. La composición no es conmutativa.
Conclusión y reflexión final
El estudio de las funciones matemáticas bachillerato te proporciona herramientas esenciales para abordar problemas matemáticos y situaciones del mundo real. Desde modelar el crecimiento poblacional hasta optimizar costes empresariales, las funciones están presentes en innumerables aplicaciones.
Los puntos clave que debes recordar son:
- Una función asigna a cada valor de entrada un único valor de salida
- El dominio son los valores permitidos para x; el recorrido, los valores posibles de y
- Las propiedades (crecimiento, simetría, continuidad) te ayudan a comprender el comportamiento de la función
- La práctica constante con ejercicios variados es fundamental para dominar el tema
Te animo a que no te limites a memorizar fórmulas. Intenta comprender qué representa cada función, visualiza sus gráficas y relaciónalo con situaciones cotidianas. La matemática cobra sentido cuando conectas los conceptos abstractos con la realidad.
¿Necesitas más práctica? Busca ejercicios adicionales en tu libro de texto o plataformas educativas. Recuerda que cada problema resuelto te acerca un paso más al dominio completo de este tema fundamental.