Si estás preparando la EVAU o eBau (como se conoce la selectividad en distintas comunidades autónomas), seguramente ya te has dado cuenta de que la probabilidad es uno de esos temas que siempre aparece. No importa si te examinas en Madrid, Andalucía o Cataluña: los problemas de probabilidad en selectividad son una constante en el examen de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II y en Matemáticas II.
La buena noticia es que, aunque al principio puedan parecer complicados, estos ejercicios siguen patrones muy reconocibles. Una vez que dominas las técnicas básicas y practicas con ejercicios tipo, ganarás confianza y velocidad. En este documento encontrarás problemas resueltos paso a paso que te ayudarán a enfrentarte a tu examen con seguridad.
¿Qué tipos de problemas de probabilidad aparecen en selectividad?
Los problemas de probabilidad en selectividad suelen centrarse en varios conceptos fundamentales que has estudiado durante segundo de Bachillerato. Vamos a repasar los más habituales:
Conceptos clave que debes dominar
- Probabilidad condicionada: la probabilidad de que ocurra un suceso A sabiendo que ha ocurrido otro suceso B.
- Teorema de la probabilidad total: útil cuando un experimento se puede dividir en diferentes casos o etapas.
- Teorema de Bayes: para calcular probabilidades «hacia atrás», cuando conocemos el resultado y queremos saber la causa.
- Independencia de sucesos: cuando la ocurrencia de un evento no afecta a la probabilidad del otro.
- Distribuciones de probabilidad: principalmente la binomial y la normal.
La clave está en identificar rápidamente qué tipo de problema tienes delante. ¿Te dan información sobre sucesos encadenados? Probablemente necesites el teorema de la probabilidad total. ¿Te piden calcular la probabilidad de una causa conociendo el efecto? Bienvenido al territorio de Bayes.
Problemas de probabilidad resueltos para selectividad: ejemplos prácticos
Problema 1: Teorema de la probabilidad total y Bayes
Enunciado: En una empresa tecnológica, el 60% de los empleados trabajan en el departamento de desarrollo, el 30% en diseño y el 10% en marketing. Se sabe que el 20% de los empleados de desarrollo tienen formación en inteligencia artificial, el 10% de los de diseño y el 5% de los de marketing. Si elegimos un empleado al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga formación en IA?
b) Si un empleado tiene formación en IA, ¿cuál es la probabilidad de que sea del departamento de desarrollo?
Resolución:
Apartado a): Aplicamos el teorema de la probabilidad total.
Definimos los sucesos:
- D = el empleado es de desarrollo; P(D) = 0,6
- Di = el empleado es de diseño; P(Di) = 0,3
- M = el empleado es de marketing; P(M) = 0,1
- IA = el empleado tiene formación en IA
Las probabilidades condicionadas son:
- P(IA|D) = 0,2
- P(IA|Di) = 0,1
- P(IA|M) = 0,05
Por el teorema de la probabilidad total:
P(IA) = P(IA|D)·P(D) + P(IA|Di)·P(Di) + P(IA|M)·P(M)
P(IA) = 0,2·0,6 + 0,1·0,3 + 0,05·0,1 = 0,12 + 0,03 + 0,005 = 0,155
Apartado b): Aplicamos el teorema de Bayes.
P(D|IA) = [P(IA|D)·P(D)] / P(IA) = (0,2·0,6) / 0,155 = 0,12 / 0,155 ≈ 0,7742
Es decir, hay aproximadamente un 77,42% de probabilidad de que un empleado con formación en IA pertenezca al departamento de desarrollo.
Problema 2: Distribución binomial
Enunciado: La probabilidad de que un estudiante apruebe un examen tipo test respondiendo al azar es de 0,25. Si hay 5 preguntas independientes, calcula:
a) La probabilidad de aprobar exactamente 2 preguntas
b) La probabilidad de aprobar al menos 3 preguntas
Resolución:
Estamos ante una **distribución binomial** B(5; 0,25), donde n=5 (número de preguntas) y p=0,25 (probabilidad de éxito).
Apartado a): P(X = 2) = C(5,2)·(0,25)²·(0,75)³
C(5,2) = 5!/(2!·3!) = 10
P(X = 2) = 10·0,0625·0,421875 = 0,2637
Apartado b): P(X ≥ 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)
P(X=3) = C(5,3)·(0,25)³·(0,75)² = 10·0,015625·0,5625 = 0,0879
P(X=4) = C(5,4)·(0,25)⁴·(0,75)¹ = 5·0,00390625·0,75 = 0,0146
P(X=5) = C(5,5)·(0,25)⁵·(0,75)⁰ = 1·0,0009765625·1 = 0,001
P(X ≥ 3) = 0,0879 + 0,0146 + 0,001 = 0,1035
Tabla resumen: técnicas para problemas de probabilidad selectividad
| Tipo de problema | Técnica a aplicar | Indicador clave |
| Sucesos encadenados en etapas | Probabilidad total | «En primer lugar…, después…» |
| Conocer la causa dado el efecto | Teorema de Bayes | «Sabiendo que ha ocurrido X, calcular…» |
| Repetición de experimentos | Distribución binomial | «n veces», «independientes» |
| Variables continuas | Distribución normal | «Aproximadamente normal», «media y desviación» |
| Sucesos simultáneos | Regla del producto | «Y» / «ambos» / «simultáneamente» |
| Sucesos alternativos | Regla de la suma | «O» / «al menos uno» |
Consejos prácticos para resolver problemas de probabilidad en selectividad
Define claramente los sucesos: Antes de lanzarte a calcular, dedica unos segundos a escribir con claridad qué representa cada suceso. Usa notación matemática adecuada (A, B, P(A), P(B|A)…).
Dibuja diagramas de árbol: Especialmente en problemas de varias etapas, un diagrama te ayudará a visualizar todas las posibilidades y a no olvidar ningún caso.
Comprueba que tu resultado tiene sentido: ¿Te sale una probabilidad mayor que 1 o negativa? Revisa tus cálculos. ¿El resultado es coherente con lo que pregunta el problema?
Practica con exámenes anteriores: Los ejercicios de probabilidad para selectividad siguen patrones muy similares año tras año. Consulta los exámenes de tu comunidad autónoma de los últimos cinco años.
Conclusión
Los problemas de probabilidad en selectividad pueden parecer intimidantes al principio, pero con práctica sistemática y comprensión de los conceptos fundamentales, se convierten en una fuente fiable de puntos en tu examen. Recuerda que la clave está en identificar el tipo de problema, aplicar la técnica correcta y trabajar con orden y claridad.
No te limites a memorizar fórmulas: entiende por qué se aplica cada teorema. Esto te dará la flexibilidad necesaria para enfrentarte a enunciados que presenten pequeñas variaciones respecto a los ejercicios que has practicado. ¿Has notado cómo todos los problemas probabilidad selectividad comparten estructuras comunes? Aprovecha esa previsibilidad a tu favor.