Teorías matemáticas

Los PROCESOS FUNDAMENTALES de las MATEMATICAS son:
– Construir objetos matemáticos.
– Formar relaciones con ellos.
– Demostrar dichas relaciones.

Teoría matemática

Una teoría matemática es un conjunto de objetos, reglas, axiomas y teoremas.

Objetos matemáticos

Son entes abstractos, extraídos de la naturaleza o de la intuición del matemático.
– Ejemplo: Una función matemática es un objeto extraído de una relación existente en la naturaleza.

objeto matemático

d= 4F/E I3/a h3

Reglas
Son procedimientos mediante los cuales podemos pasar de unas verdades a otras.

Comenzaremos combinando axiomas para obtener teoremas y luego a combinar axiomas o teoremas para obtener nuevos teoremas.

Axiomas
Son verdades primeras que no pueden ser reducidas a otras más elementales. Son proposiciones que no pueden deducirse de otras. Intuitivamente un axioma es una verdad evidente, sacada de la experiencia en la naturaleza o formulada como hipótesis por el matemático.

Teorema
Son proposiciones verdaderas que se obtienen aplicando las reglas de la teoría a teoremas o axiomas.
Los teoremas se obtienen por aplicación reiterada de estas dos reglas:
R1: Toda proposición obtenida al aplicar un axioma es verdadera.
R2: Dadas dos proposiciones P, Q si la proposición P«Q es verdadera y P es verdadera, entonces Q es verdadera.

Condiciones que deben cumplir los axiomas
Consistentes
Cuando de ellos no es posible deducir una contradicción.
Independientes
Cuando ningún axioma puede ser deducido de los demás.
Completo
Cuando al añadir un nuevo axioma al conjunto de axiomas de la teoría, éste se transforma en dependiente.
Decidibles
Cuando existe un proceso que permite decir si una proposición es un teorema o no.
Lo que caracteriza a las proposiciones verdaderas es que se puede llegar hasta ellas a partir de los axiomas y teoremas de la teoría. Diremos que una proposición es falsa cuando su negación es verdadera.
Diremos que una proposición es indecidible si no existe un razonamiento que permita llegar a ella ni tampoco a su negación.

Demostración
Una demostración es la expresión escrita de un razonamiento válido.
Métodos de demostración
Hipótesis auxiliar
Sean A, B dos proposiciones. Tratamos de probar que A « B es un teorema.
Consideremos la proposición A como verdadera. Si demostramos que B es verdadero, se puede asegurar que A « B es un teorema.
En la práctica se dice: supongamos que A es verdadero y se razona hasta llegar a B.

Reducción al absurdo
Teorema que hay que probar A « B.
Partimos de la suposición ¬B es cierto. Si razonando llegamos a la conclusión ¬A, entonces tendríamos en la teoría una contradicción, pues no pueden ser ciertos a la vez A y ¬A, por tanto, la suposición es falsa y podemos afirmar que A«B es un teorema.

Cuantificadores

Con la conjunción y la disyunción de proposiciones formamos dos nuevos símbolos lógicos llamados cuantificadores UNIVERSAL y EXISTENCIAL. Consideremos la proposición compuesta p Ù q Ù r. Si realizamos su tabla de verdad, esta proposición es verdadera únicamente cuando p, q, r sean a la vez verdaderas, y será falsa cuando al menos una de ellas sea falsa. Simbolizando la proposición compuesta por Ù (p, q, r) y extendiendo lo dicho a más de tres proposiciones tendremos Ù (p, q, r…) que será verdadero si son verdaderas todas las proposiciones que la componen y falsa si encontramos una de ellas que sea falsa. Cambiemos la notación para simplificar la escritura. Sea p = p (1), q = p (2), r = p (3)…, la proposición que ocupa el lugar n la llamaremos p (n).

Podemos escribir la proposición Ù (p, q, r…) de la siguiente forma:
» x, se cumple p(x) donde x recorre el conjunto {1, 2, 3…}.
Se lee: para cualquiera que sea x, se cumple p(x).
– Ejemplos: Si x recorre el conjunto de los hombres la proposición » x, x es mortal, es una proposición verdadera, pues si x es un hombre, la proposición p(x) = x es mortal, es siempre cierta (todos los hombres son mortales).
» x, x es sabio es una proposición falsa, pues podemos encontrar hombres que no son sabios.
Análogamente, construiríamos la proposición v (p, q, r…) que es cierta cuando hay una que sea cierta y es falsa si todas a la vez son falsas. A esta proposición la escribimos
$x, se cumple p(x)
Se lee: existe un x que cumple p(x) donde x recorre el conjunto {1, 2, 3…}.
– Ejemplos: Si x recorre el conjunto de coches la proposición: $ x, x es de color blanco, es cierta.
La proposición: $ x, x tiene cuatro lados es falsa cuando x recorre el conjunto de los triángulos.
– Ejemplo de CUANTIFICADOR UNIVERSAL.
El cuadrado de todo número natural es positivo, o también » n ÎN se cumple n2 ³ O.
– Ejemplo de CUANTIFICADOR EXISTENCIAL.
» n ÎN, tal que x2 – 2x + 1 = O
Existe un número natural que cumple x2 – 2x + 1 = O.
Efectivamente para x = 1 la proposición x2 – 2x + 1 = O es verdadera.

Orígenes de las matemáticas

A pesar de que desde los mismos orígenes de la humanidad, siempre el ser humano necesitó de las matemáticas para dar respuesta a un sinfín de problemas, no se abordaría con el rigor necesario hasta la época clásica griega. Hipócrates, Tales de Mileto, Euclides y Pitágoras son sólo algunos de los más destacados estudiosos de esta nueva ciencia que, al principio, tuvo una gran relación con la filosofía.

Tales de Mileto

En aquella época la aritmética y la geometría fueron consideradas dos disciplinas fundamentales para el desarrollo cultural. La aplicación de la matemática en Roma se centró en el ámbito de las obras de ingeniería. De esta etapa, sin embargo, cabe recordar la interpretación que se dio a la numeración, todavía en uso en la actualidad.