Sistemas de numeración

Los números pueden representarse de acuerdo a diversos sistemas de numeración que se diferencian por su base.

La base de un sistema de numeración es el número de símbolos distintos utilizados para la representación de magnitudes.
* Así, por ejemplo, el sistema decimal o de base 10 utiliza diez símbolos para la representación de los números: O, 1, 2, 3, 4, 5…
* En el ámbito de la electrónica digital, o, dicho de otra forma, de los sistemas lógicos digitales, el sistema de numeración utilizado es el binario o de base 2.

Los dos símbolos adoptados para la representación de magnitudes son, en este caso, los dígitos 0 y 1.

En cualquier sistema de numeración de base b, los dígitos o símbolos para representación de cantidades poseen un valor absoluto inferior a la base b. Esta propiedad se puede comprobar en los dos sistemas de numeración apuntados anteriormente:
– Sistema decimal o de base 10:
Símbolos de representación 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
En efecto, se verifica que di < b = 10.
(di representa un dígito cualquiera del sistema de numeración).
– Sistema binario o de base 2:
Símbolos de representación 0, 1.
De nuevo se verifica que di < b = 2.
* En general, sea cual fuere el sistema de numeración, siempre se verifica la propiedad siguiente:
0 £ di < b
En donde:
di es un dígito cualquiera del sistema de numeración, y b es la base del sistema
de numeración considerado.
Representación de magnitudes
La representación de un número cualquiera N en un sistema de numeración de
base b obedece a la expresión siguiente:
N(b = an · bn + an-1 · bn-1 + … + a1 · b1 + a0 · b0 + a-1 · b-1 + … + a-p · bp
Siendo:
b: base del sistema de numeración.
ai: dígito perteneciente al sistema de numeración (O £ ai < b).
n + 1: número de dígitos enteros.
p: número de dígitos fraccionarios.
* Ejemplo 1: representación del número decimal 587,54(10 por descomposición en serie.
Dado que el número está en el sistema de numeración decimal, se cumple que:
b = 10
0 £ di < 10
Utilizando, pues, la expresión enunciada, resulta:
587,5410 = 5 · 102 + 8 · 101 + 7 · 100 + 5 · 10-1 + 4 · 10-2
Donde:
n = 2 ® n + 1 = 3 dígitos enteros.
p = 2 ® p = 2 dígitos fraccionarios.
* Ejemplo 2: representación del número binario 1101,011(2 por descomposición en serie.
En el sistema binario se verifica que:
b = 2
0 £ di < 2
Y aplicando la expresión anterior, se obtiene:
1101,0112 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 + 0 · 2-1 + 1 · 2-2 + 1 · 2-3
Donde:
n = 3 ® n + 1 = 4 dígitos enteros.
p = 3 ® p = 3 dígitos fraccionarios.

Sistema binario

El sistema de numeración binario o de base 2 utiliza para la representación de magnitudes los símbolos 0 y 1.
El dígito o elemento mínimo de información binaria recibe la denominación de bit (contracción del apelativo inglés Binary DigiT).
Este sistema de numeración se utiliza para representar los datos en los equipos de cálculo y control automático debido a:
– La seguridad y rapidez de respuesta de los elementos físicos que poseen dos estados diferenciados.
– La simplicidad de las operaciones aritméticas en el sistema binario.
Existen muy diversos códigos binarios derivados del sistema binario básico o Código Binario Natural. Este código se obtiene en base a una distribución progresiva de potencias crecientes de la base (2), denominadas pesos, tal como refleja la tabla adjunta.

Con n dígitos pueden obtenerse hasta 2n configuraciones biarias distintas. Cada configuración estará en correspondencia un número decimal determinado.

Estableciendo un sistema de asignaciones específico y biunívoco entre las configuraciones binarias y los diversos números decimales, puede generarse cualquier tipo de código binario. De todos ellos se estudiarán posteriormente los de mayor incidencia el terreno de la electrónica digital.

Código binario natural

… 28 27 26 25 24 23 22 21 20
Sistema Pesos
decimal …256 128 64 32 16 8 4 2 1
… b8 b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0 Bits
0 0
1 1
2 1 0
3 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
14 1 1 1 0
27 1 1 0 1 1
32 1 0 0 0 0 0
40 1 0 1 0 0 0
100 1 1 0 0 1 0 0
130 1 0 0 0 0 0 1 0
256 1 0 0 0 0 0 0 0 0
( Equivalencia entre el sistema de numeración decimal y el Código Binario Natural.)
Código binario natural
Decimal b3 b2 b1 b0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
2 0 0 1 0
3 0 0 1 1
4 0 1 0 0
5 0 1 0 1
6 0 1 1 0
7 0 1 1 1
8 1 0 0 0
9 1 0 0 1
10 1 0 1 0
11 1 0 1 1
12 1 1 0 0
13 1 1 0 1
14 1 1 1 0
15 1 1 1 1
( Código Binario Natural de 4 bits.)

Sistema octal

El sistema de numeración octal es, junto con el decimal y binario, uno de los más extendidos en el ámbito de la representación de magnitudes numéricas. La base del sistema de numeración octal es 8 y los símbolos para la representación de cantidades son: O, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

Tal como ya se ha definido para los sistemas de numeración en general, los dígitos para la representación de números en el sistema octal cumplen la condición siguiente:
0 £ dj < b = 8
Binario Octal
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 2
0 1 1 3
1 0 0 4
1 0 1 5
1 1 0 6
1 1 1 7
( Correspondencia entre los sistemas octal y binario.)
El sistema de numeración octal posee una propiedad de gran interés que favorece su empleo para representar cantidades a manipular por medio de circuitos digitales: b = 8 = 23.
Semejante relación con el sistema binario facilita la conversión -directa e inversaentre ambos sistemas de numeración. Cada número octal se representa con tres dígitos binarios.
La conversión entre ambos sistemas se reduce a aplicar el procedimiento indicado en los siguientes ejemplos.
* Ejemplo 1: Conversión a binario del número octal 641,3(8
641,3(8 ® 6 4 1 , 3
¯ ¯ ¯ ¯
110 100 001 011
En consecuencia:
641,3(8 = 110100001,011(2
* Ejemplo 2: Conversión a octal del número binario 010111001,01(2
010111001,01(2 ® 010 111 001, 01
¯ ¯ ¯
2 7 1 , 2
En definitiva:
010111001,01(2 = 271,2(8

Sistema hexadecimal

La base del sistema de numeración hexadecimal es 16 y los símbolos que
intervienen en la codificación de magnitudes son: los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y las letras A, B, C, D, E y F.
Decimal Binario Hexadecimal
0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1
2 0 0 1 0 2
3 0 0 1 1 3
4 0 1 0 0 4
5 0 1 0 1 5
6 0 1 1 0 6
7 0 1 1 1 7
8 1 0 0 0 8
9 1 0 0 1 9
10 1 0 1 0 A
11 1 0 1 1 B
12 1 1 0 0 C
13 1 1 0 1 D
14 1 1 1 0 E
15 1 1 1 1 F
( Equivalencia entre los sistemas decimal, binario y hexadecimal.)

Este sistema posee una propiedad semejante a la enunciada para el sistema de numeración octal, propiedad que favorece la presencia del sistema hexadecimal en el mundo de los circuitos lógicos.
Cada símbolo hexadecimal se codifica mediante cuatro dígitos binarios. E inversamente cada grupo de cuatro bits se representa por medio de una letra o cifra del sistema hexadecimal.
* Ejemplo 1: Conversión a binario del número hexadecimal 4CF2(16
4CF2(16 ® 4 C F 2
¯ ¯ ¯ ¯
0100 1100 1111 0010
Luego:
4CF2(16 = 0100110011110010( 2
* Ejemplo 2: Conversión a hexadecimal del número binario 0101111110(2
0101111110(2 ® 01 0111 1110
¯ ¯ ¯
1 7 E
En consecuencia:
0101111110(2 = 17E(16
El sistema hexadecimal se utiliza con frecuencia para la representación de informaciones en el entorno de equipos de proceso de datos, fundamentalmente en tareas de programación de or denadores utilizando lenguaje de ensamble.

Cambios de base

El diseño, e incluso el mantenimiento de circuitos lógicos, requiere del operador un conocimiento de los sistemas de numeración tal que le permita interpretar las diversas magnitudes lógicas, sea cual fuere el sistema de representación adoptado.

El sistema de numeración básico o de referencia es el decimal. Por lo tanto, es preciso aprender a trasladar magnitudes de un código cualquiera a decimal, y viceversa.

Puesto que el sistema de numeración convencionalmente utilizado es el de base 10, sólo existe familiaridad con el uso de las tablas de multiplicación con números decimales. En consecuencia, no resulta eficaz en todos los casos la aplicación del polinomio de descomposición en serie enunciado al principio:
N(b = an · bn + an-1 · bn-1 + … + a1 · b1 + a0 · b0 + a-1 · b-1 + +…+ a-p · b-p
La aplicación de este polinomio sólo resultará eficaz para operar las conversiones de una base cualquiera b1 a base decimal bD.
En consecuencia, para cubrir todas las necesidades de conversión de números de uno a otro sistema de numeración se establecen los tres casos generales que siguen:
– Caso A. Cambio de una base b1 a base decimal:
b1 ® bD
– Caso B. Cambio de base decimal a base b2:
bD ® b2, siendo bD > b2
– Caso C. Cambio de una base b1 a otra b2, ambas distintas a la decimal:
b1 ® b2
* Caso A: b1 ® bD
Para determinar el equivalente en el sistema decimal de un número expresado en otra base b, se utiliza el polinomio de descomposición enunciado anteriormente.
Ejemplo: Conversión del número binario 1101,10(2 a expresión decimal (N(10)
1101,10(2 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 + 1 · 2-1 + 0 · 2-2
Operando los productos resulta:
1101,10(2 = 8 + 4 + 0 + 1+ 0,5 + 0 = 13,5
Luego:
1101,10(2 = 13,5(10
* Caso B: bD ® b2, siendo bD > b2.
En este segundo caso general caben dos métodos dependiendo de que el número decimal de origen sea entero o fraccionario.
– Números enteros.
Si un número entero expresado en base 10 se divide sucesivamente por la base de destino b2, el último cociente y los restos obtenidos formarán la expresión del número en la nueva base b2.

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