Simplificación de las funciones lógicas

La simplificación de funciones permite, partiendo de la función origen, hallar la función lógica más elemental equivalente a la anterior. Dicha función equivalente debe veri ficar dos condiciones:
– Poseer el menor número de términos posible, y, a su vez,
– Los términos que conforman la nueva función deben incluir el menor número de variables posible.

Métodos de simplificación

La simplificación puede llevarse a cabo recurriendo a tres procedimientos genéricos:
* Método directo: utilizando las propiedades y teoremas del Algebra de Boole.
* Método de Karnaugh: aplicando los denominados Mapas de Karnaugh.
* Método numérico de McCluskey.

Los próximos apartados exponen los tres procedimientos básicos de simplificación de funciones lógicas a través de sendos ejemplos.

Método directo

Consiste en la aplicación de los teoremas y propiedades inherentes al Algebra de Boole.

Este método se utiliza para la simplificación de funciones sencillas de pocas variables. Su aplicación en funciones complejas de elevado número de variables es problemática debido a la dificultad de distinguir las circunstancias específicas favorables a la aplicación de una determinada propiedad o teorema.

Seguidamente se relacionan las propiedades y teoremas fundamentales a utilizar como herramienta de simplificación:
* Propiedades
– Elemento neutro:
a + 0 = a
a · 1 = a
– Elemento complementario:
_
a + a = 1
_
a·a = 0
– Propiedad distributiva, respecto a la suma y producto lógico:
a·(b + c) = ab + ac
a + (bc) = (a + b)·(a + c)
* Teoremas
– Principio de conservación:
a + a = a
a·a = a
– Ley de absorción:
a + ab = a
a·(a + b) = a
– Leyes de De Morgan:
a + b + c + … = a · b · c …
a·b·c … = a + b + c +…
* Otras propiedades
– Propiedad reductiva:
a·f (a,b,c,…) = a·f (1,b,c,…)
a·f (a,b,c,…) = a·f (0,b,c,…)
Aplicando el principio de dualidad se demuestran las expresiones complementarias:
a + f (a,b,c,…) = a + f (0,b,c,…)
a + f (a,b,c,…) = a + f (1,b,c,…)
Para hacer efectiva la simplificación se van considerando las diversas propiedades y teoremas expuestos, aplicando aquellos que introduzcan una mayor eliminación de términos o de variables en la función a simplificar.

Método de Karnaugh

Este método de simplificación se utiliza primordialmente, al igual que el anterior, con funciones de reducido número de variables. Orientativamente para funciones de 2 a 5 variables.
El procedimiento es el que se detalla a continuación:
* Construir el Mapa de Karnaugh correspondiente al número de variables de la función a simplificar.
Los que siguen son los mapas de Karnaugh apropiados para funciones lógicas de 2, 3 y 4
* Mapa de Karnaugh para 2 variables:

Método directo

Método directo

* Mapa de Karnaugh para 3 variables:

Mapa de Karnaugh para dos variables

Mapa de Karnaugh para tres variables

* Mapa de Karnaugh para 4 variables:

Mapa de Karnaugh para 4 variables

Mapa de Karnaugh para 4 variables

* Supuesta la función expresada en forma de sumatorio de minterms, introducir tales minterms mediante un «1» en las correspondientes casillas del mapa de Karnaugh.
* Agrupar en el mapa conjuntos de «1s» en número tal que, invariablemente, sea una potencia de 2 (1, 2, 4, 8, …).
Hay que considerar que:
– Se empieza la simplificación realizando las agrupaciones de mayor número de términos, continuando progresivamente con las de menor número de minterms.
– Los bordes del mapa de Karnaugh se consideran adyacentes: el borde superior enlaza con el inferior, y los bordes laterales lo hacen entre sí.
– Aunque un minterm haya sido ya agrupado, puede tomarse de nuevo cuantas veces sea necesario para constituir otros grupos de simplificación. Cuanto superior sea el número de minterms agrupados, mayor será la simplificación lograda.
– Cada agrupación da lugar a un término en la función de salida. Para formar la expresión algébrica de cada término se tienen en cuenta las variables (o sus complementadas) que abarcan o engloban a la totalidad de la agrupación considerada.
* La función final simplificada coincidirá con la que se obtenga una vez realizadas algébricamente todas las agrupaciones de «1s» (minterms) detectadas en el mapa de Karnaugh.

Ejercicio de simplificación por el método de Karnaugh
Se trata de simplificar la siguiente función lógica expresada como sumatorio de minterms:
F = S (0,1,2,3,4,12,13,14)
4
La aplicación del método enunciado se concreta en los siguientes puntos:
* En primer lugar se traza el mapa de Karnaugh adecuado para la simplificación de funciones lógicas de 4 variables.
* Dado que la función está ya expresada como sumatorio de minterms, basta con trasladar los minterms al mapa, colocando un «1» en las correspondientes
casillas del mapa (minterms 0, 2, 3, 4, 12, 13 y 14).
* A continuación se establecerán las agrupaciones de minterms adyacentes, considerando que los bordes del mapa son contiguos.
El procedimiento de agrupación consiste en asociar los minterms con casillas afectadas por un «1» que estén dispuestas conjuntamente. Cada grupo debe estar constituido por un número de casillas que sea potencia de la base binaria 2; esto es: 1, 2, 4, 8 ó 16 en el caso que nos ocupa.

En orden a conseguir una mayor simplificación, deben agruparse conjuntamente el mayor número posible de casillas. Hay que tener en cuenta que un mismo minterm puede intervenir en varias agrupaciones. Por ejemplo, el minterm 12 interviene en dos agrupaciones: (12, 13) y (12, 14).
* A partir de las agrupaciones realizadas sobre el mapa puede ya obtenerse la función de salida simplificada. Para ello hay que construir la expresión algebraica que corresponde a cada grupo asociado para su simplificación.

En principio cabe tomar, por ejemplo, el grupo integrado por los minterms 0, 1, 2 y 3. El término en cuestión estará formado por el producto de las variables que engloban al grupo en su totalidad.

Sobre el mapa se observa que la variable «a» intercepta medio grupo, al igual que la «b». En definitiva, el grupo está englobado en su conjunto dentro de la zona correspondiente a «c» complementada y «d» complementada ,luego su expresión algebraica será:
_ _
c · d
Análogamente se obtendrán los restantes sumandos que intervienen en la expresión.
Grupo Expresión
_ _ _
(0, 4) ® a · b · d
_
(12, 13) ® b · c · d
_
(12, 14) ® a · c · d
La función simplificada será, pues, la que sigue:
_ _ _ _ _ _ _
F = c · d + a · b · d + b · c · d + a · c · d
Si la introducción del minterm número 1 se hubiese efectuado en conjunción con el minterm 12 en lugar de con el número 0, en la expresión de f aparecería el sumando (a·b·c) en lugar del (a·b·d). En ambos casos la simplificación es correcta.

Método de McCluskey

Este método de simplificación se utiliza comúnmente con funciones de cinco o más variables. Su aplicación obedece al procedimiento descrito en los siguientes puntos:
* Se construye una primera tabla de MacCluskey agrupando los minterms de acuerdo al número de «1s» que contenga la expresión binaria del número decimal identificativo de cada minterm.
* Se compara cada zona o bloque de la tabla anterior con el que tiene inmediatamente debajo, de tal forma que se agruparán en simplificación aquellos minterms que verifiquen la condición siguiente:
– La diferencia del minterm del bloque inferior con el del bloque superior debe ser una potencia de la base 2.

Atendiendo a la comparación y simplificación realizada, debe construirse una nueva tabla en la que aparecerán:
– Los números correspondientes a los minterms simplificados.
– La diferencia entre los números decimales correspondientes a los minterms agrupados o simplificados.
Los minterms simplificados deben marcarse en la tabla. Los no simplificados constituyen los términos primos.
* Basándose en la nueva tabla realizada se repite el proceso, comparando
agrupaciones de minterms pertenecientes a bloques contiguos. Hay que tener en cuenta que únicamente serán simplificables las agrupaciones que cumplan las dos condiciones siguientes:
– La diferencia primera debe ser la misma.
– La diferencia entre los minterms de ambas agrupaciones a simplificar debe ser una potencia de la base binaria 2.
La nueva tabla se construye reflejando los minterms agrupados junto con las dos diferencias (primera y segunda) entre las agrupaciones parciales simplificadas.
Esta operación, a aplicar sobre las tablas que se van formando sucesivamente, debe proseguir hasta llegar a una situación no simplificable.
* Una vez finalizada la simplificación, en base a la agrupación de minterms en tablas sucesivas, se constituye la tabla de términos primos.
En esta tabla final se colocan, como principio de fila, las agrupaciones o términos primos, es decir: los no simplificables. En las columnas de dicha tabla se incluyen la totalidad de los minterms que intervienen en la función de partida.
– Una vez construida la tabla final, deben marcarse con una cruz las casillas intersección entre los minterms que conforman la función de partida (columnas) y el término primo en el que aparecen (filas).
* Es conveniente poner una indicación en aquellos minterms que sólo aparecen en un término primo. Los términos primos afectados, es decir, aquellos que deben introducirse obligatoriamente en la función final simplificada se denominan términos primos esenciales.

Una vez introducidos los términos primos esenciales, deben cubrirse los minterms restantes recurriendo a los términos más extensos y teniendo en cuenta que en la función final debe aparecer el menor número posible de términos.
* La función final simplificada estará formada por los términos primos utilizados para la introducción o realización de la totalidad de minterms que componen la función original.
La traducción de las agrupaciones o términos primos a términos algebraicos se lleva a cabo de la siguiente forma:
– Se toman las diferencias que afectan al término primo en cuestión.
– El término algebraico estará formado por la expresión canónica típica: conjunto que contiene ordenadas todas las variables cuyo peso son las diferencias existentes en el término primo tratado.
Ejercicio de simplificación el método de MacCluskey
Para desarrollar este ejemplo se utilizará la misma función de partida que en el caso de la simplificación por el método Karnaugh:
f = S (O, 1 , 2, 3, 4, 12, 13, 14)
4
El proceso de simplificación obedece al procedimiento descrito en la zona teórica; de ahí que sólo se detallen las tablas y observaciones específicas a que haya lugar:
N.º minterm
Ningún 1 0 x
…………….
Un 1 1 x
2 x
4 x
…………….
Dos 1 3 x
12 x
…………….
Tres 1 13 x
14 x
Minterms Diferencia
0 – 1 1 x
0 – 2 2 x
0 – 4 4 x
……………………………………….
1 – 3 2 x
2 – 3 1 x
4 -12 8
……………………………………….
12 -13 1
12 -14 2
Minterms Diferencias
0-1-2-3 1 – 2 Al coincidir, se
0-2-1-3 2 – 1 elimina uno de los grupos
El paso siguiente es formar la tabla final. En las columnas figurarán la totalidad de los minterms que aparecen en la función f, mientras que en las filas se reflejarán los términos no simplificados (no señalados con una «x») recogidos en las tablas construidas en los pasos anteriores.
­ ­ ­ ­ ­
* Términos primos esenciales:
(12 – 13)
(12 – 14)
(0 – 1 – 2 – 3)

Al tomar estos términos para componer la función de salida se observa que resta únicamente por introducir el minterm número 4. En este caso es indiferente introducir el minterm 4 con el término (0-4) o con el (4-12).

Esta doble posibilidad surgió también en el ejemplo desarrollado anteriormente, en el que la simplificación de f se acometió aplicando el método de Karnaugh. Al igual que entonces adoptaremos de nuevo el término (0-4).
* Por último, pasamos a obtener las expresiones algebraicas correspondientes a cada uno de los términos que integran la función simplificada.

Eliminación de variables

Término Difere. de peso diferente simplif.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
0-1-2-3 1-2 a b c d a b c d a b c d a b c d = c·d
_ _ _ _
12-14 2 a b c d a b c d = a·c·d
_ _ _ _
12-13 1 a b c d a b c d = b·c·d
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
0-4 4 a b c d a b c d = a·b·d
En definitiva, la función final de salida será:
_ _ _ _ _ _ _
f = c·d + a·c·d + b·c·d + a·b·d
Que, efectivamente, coincide con la resultante obtenida al aplicar el método de Karnaugh.

Los métodos de Karnaugh y McCluskey se han estudiado precisando su aplicación a funciones expresadas como sumatorio de minterms. No obstante, ambos métodos son totalmente aplica bles a funciones expresadas como productorio de maxterms, sin necesidad de introducir modificación alguna en el procedimiento genérico.

Leave a Reply

  • Responsable: Octavio Ortega Esteban
  • Fin del tratamiento: Controlar el spam, gestión de comentarios
  • Legitimación: Tu consentimiento
  • Comunicación de datos: No se comunicarán los datos a terceros salvo por obligación legal
  • Derechos: Acceso, rectificación, portabilidad, olvido.
  • Contacto: Octavio[arroba]kerchak.com
  • Información adicional: Más información en nuestra política de privacidad