Resumen de Elementos de Euclides

No se conocen con exactitud datos sobre la vida de Euclides, sólo se intuye que probablemente vivió en la época del primer Ptolomeo -entre 306 y 283 a. C.-, a quien se supone le advirtió que “no hay un camino real hacia la geometría“.  Sus más famosos textos son los trece libros de los Elementos de los que nos ocuparemos.

El tratamiento de Euclides está basado en una deducción estrictamente lógica de teoremas a partir de un conjunto de definiciones, postulados y axiomas.

Libro I – Elementos de Euclides

El quinto postulado del Libro I (la relación entre los “axiomas” y “postulados” en Euclides no es clara) es equivalente al llamado “axioma de las paralelas”, de acuerdo con el cual una recta y sólo una puede trazarse, a través de un punto, paralela a una recta dada. Los intentos para reducir este axioma a un teorema condujeron, en el siglo XIX, a una justa apreciación del buen criterio de Euclides al adoptarlo como un axioma y al descubrimiento de otras geometrías, las llamadas no euclideanas. La exclusión del axioma de Arquímedes, en una forma semejante, condujo a geometrías no arquimedeanas.

Libros I, II, III y IV – Elementos de Euclides

Los primeros cuatro libros tratan de la geometría plana, pero no tratan la teoría de las proporciones y conducen desde las propiedades más elementales de líneas y ángulos hasta la congruencia de triángulos, la igualdad de áreas, el teorema de Pitágoras (Libro I, Proposición 47), la construcción de un cuadrado igual a un rectángulo dado, la sección áurea, el círculo y los polígonos regulares. Aquí el teorema de Pitágoras y la sección áurea se introducen como propiedades de áreas.

Euclides - Elementos de Euclides

Euclides

Libro V – Elementos de Euclides

El quinto libro presenta la teoría de las proporciones de Euxodo en su forma puramente geométrica y en el sexto libro esto se aplica a la semejanza de figuras planas. Aquí retomamos el teorema de Pitágoras y la sección áurea (Libro VI, Proposiciones 31, 30), pero ahora como teoremas que conciernen a razones.

Esta introducción de semejanza en tal etapa tardía, es una de las diferencias más importantes entre la presentación de Euclides de la geometría plana y la actual, y debe atribuirse al énfasis puesto por Euclides en la original teoría de los inconmesurables de Euxodo.

Libro VI – Elementos de Euclides

De particular interés es el teorema (Libro VI, Proposici-n 27) que contiene el primer problema de máximos que ha llegado a nosotros, con una prueba de que el cuadrado, de todos los rectángulos de perímetro dado, tiene área máxima.

Libros VII, VIII y IX – Elementos de Euclides

Los libros VII a IX se dedican a la teoría de los números, no a una técnica de cómputo, sino a temas pitagóricos como la divisibilidad de los enteros, la suma de las series geométricas y algunas propiedades de los números primos. Allí hallamos tanto el “algoritmo de Euclides” para encontrar el máximo común divisor de un conjunto de números, como el teorema de Euclides de que hay un número infinito de primos (Libro IX, Proposici-n 20).

Libro X – Elementos de Euclides

La discusión geométrica se resume en el décimo libro, frecuentemente considerado como el libro más difícil de Euclides, que contiene una clasificación geométrica de irracionales cuadráticos y sus raíces cuadráticas.

Libros XI, XII, XIII – Elementos de Euclides

Los últimos tres libros tratan de geometría sólida, y conducen, vía ángulos, sólidos volúmenes de paralelepípedos, prismas y pirámides hasta la esfera y a lo que parece haber sido propuesto como el clímax: la discusión de los cinco cuerpos regulares (platónicos) y a la demostración de que solamente existen cinco de tales cuerpos.

Mas informacion sobre este tema

  • Deja tu comentario

    • Responsable: Octavio Ortega Esteban
    • Fin del tratamiento: Controlar el spam, gestión de comentarios
    • Legitimación: Tu consentimiento
    • Comunicación de datos: No se comunicarán los datos a terceros salvo por obligación legal
    • Derechos: Acceso, rectificación, portabilidad, olvido.
    • Contacto: Octavio[arroba]kerchak.com
    • Información adicional: Más información en nuestra política de privacidad