Lógica

La lógica matemática tiene por objeto el análisis de las demostraciones realizadas en los teoremas.

A partir del siglo XIX los matemáticos se preguntan por los fundamentos de la Matemática: ¿cuáles son las últimas razones sobre las que se desarrolla esta ciencia?

Esta pregunta les condujo inevitablemente al estudio del lenguaje y su formalización, con el fin de que nos podamos entender, y de que cuando hablemos estemos seguros de que el que nos escucha entiende exactamente lo que le queremos decir.

Este campo entra dentro del estudio no sólo del lenguaje (hay que crear un nuevo lenguaje, METALENGUAJE, que abandone las imprecisiones y ambigüedades), sino del estudio del razonamiento humano y su validez.

A lo largo del siglo XX se descubre que los principios de la LOGICA son el fundamento de las Matemáticas. Alguno de estos conocimientos lógicomatemáticos son los que vamos a estudiar aquí.

Proposición

Es un enunciado del que puede decirse sin ambigüedad si es verdadero o falso. Según esto, sólo podemos hablar de proposiciones si el enunciado es declarativo. No tiene sentido decir que es verdadero o falso el enunciado ¡quiero comer!, pues aunque expresa un deseo que puede o no realizarse, no es verdadero ni falso.
– Ejemplos:
Tres es mayor que dos – (verdadera)(enunciado declarativo).
El área del triángulo es (base) x (altura) – (falsa) (enunciado declarativo).
¿Has acertado? – (no es proposición) (enunciado interrogativo).
Las proposiciones pueden ser:
– Simples: son enunciados que no se pueden descomponer en otros más sencillos.
Ej.: La Tierra es redonda.
– Compuestas: están formadas por dos o más proposiciones simples, unidas por conjunciones.
Ej.: La Tierra es redonda y tiene un satélite.
Este enunciado se puede descomponer en: La Tierra es redonda y la Tierra tiene un satélite.
Representaremos las proposiciones simples por símbolos:
P = La Tierra es redonda.
Q = La Tierra tiene un satélite.
resumen operadores lógicos

Operaciones lógicas

Hemos visto que una proposición simple sólo puede tomar uno de los dos valores:
verdadero – falso.
Combinando las proposiciones simples podemos realizar operaciones lógicas, que darán como resultado proposiciones compuestas. Vamos a ver las operaciones lógicas elementales que podemos realizar con las proposiciones simples y qué proposiciones compuestas obtenemos.

Valor de verdad de una proposición
Si representamos a la proposición por la letra p, diremos:
Valor de verdad p p ha de ser
1 verdadera
0 falsa
– Ejemplos:
La Luna es un satélite, valor de verdad 1.
El mármol es un ser vivo, valor de verdad 0.
Combinación de una proposición simple consigo misma
Partiendo de una proposición simple p, que puede tener valor de verdad 1 ó 0, la proposición compuesta puede presentar diferentes estados según el estado de p.
Coloquemos en una tabla todos los posibles valores de verdad para la proposición compuesta:
P C1 C2 C3 C4
0 0 1 0 1
1 0 0 1 1
Cada columna (C1, etc.) nos da una posible proposición compuesta formada con
p.
C1: La columna indica que la proposición compuesta es siempre falsa, con independencia de p. Esta proposición se llama CONTRADICCION de p.
C2: En este caso la proposición compuesta es verdadera cuando a simple es falsa y falsa cuando la proposición simple es verdadera. Se llama NEGACION de p.
C3: Aquí la compuesta es verdadera o falsa según lo sea la proposición simple. Se le llama AFIRMACION de p.
C4: La compuesta es siempre verdadera, con independencia de p. Se llama TAUTOLOGIA.
– Ejemplos: p = Juan es alto.
Negación de p: Juan no es alto = (en lenguaje común) Juan es bajo.
Tautología de p: Juan es alto o bajo.
Afirmación de p: Juan es alto o alto.
Contradicción: Juan es alto y bajo.
Destaquemos entre estas columnas la negación de p:
Proposición negativa
Se representa por ¬p. Se lee no p.
Esta proposición sólo es verdadera cuando es falsa la proposición que la forma.
Su tabla de verdad es:
p ¬p
0 1 Al operador lógico ¬se
1 0 le llama NEGACION
Combinación de dos proposiciones simples
Dadas las proposiciones simples p, q, combinamos sus posibles valores de verdad y luego formamos todas las columnas que podamos realizar con ceros y unos.
Tendremos la siguiente tabla:
p q C1 C2 C8 C10 C12 C16
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
C1: Esta columna nos dice que la proposición compuesta es siempre falsa, con dexconexión de p y q. Se le llama CONTRADICCION.
C16: Ésta, por el contrario, es siempre verdadera y se le llama TAUTOLOGIA.
Hay otras columnas interesantes desde un punto de vista lógico:
Proposición conjuntiva
Corresponde a la columna C2:
p q p¬q
0 0 0
1 0 0 Se representa p¬q
0 1 0 Se lee p y q
1 1 1
El símbolo que sirve de unión entre las dos proposiciones se llama OPERADOR lógico.
El operador lógico ¬se llama CONJUNCION.
Esta proposición sólo es verdadera cuando lo son a la vez las proposiciones simples que la componen.
– Ejemplo: 24 es múltiplo de 2 y el área de un cuadrado es lado por lado.
Proposición disyuntiva
Su tabla corresponde a la columna C8
p q pvq
0 0 0
1 0 1 Se representa pvq
0 1 1 Se lee p o q
1 1 1
El operador lógico v se llama DISYUNCION.
Esta proposición sólo es falsa cuando lo son a la vez las proposiciones simples que la componen.
– Ejemplo: Lleva pantalones rojos o chaqueta roja.
Proposición condicional
Su tabla corresponde a la columna C12
p q pq
0 0 1
1 0 0 Se representa pq
0 1 1 Se lee si p entonces q
1 1 1
El operador lógico se llama CONDICIONAL.
Esta proposición sólo es falsa cuando es falta q y verdadera p
– Ejemplo: Si N es múltiplo de 6 entonces es múltiplo de 2.
Proposición bicondicional
Su tabla corresponde a la columna C10
p q pq
0 0 1
1 0 0 Se representa pq
0 1 1 Se lee p precisamente si q.
1 1 1
El operador lógico se llama BICONDICIONAL.
Esta proposición es verdadera cuando las que la componen son a la vez verdaderas o falsas.
– Ejemplo: N es múltiplo de 6 si y sólo si N es múltiplo de 2 y de 3.
Tabla de verdad de una proposicion compuesta
Los operadores lógicos , v, , , , son la unión entre las proposiciones simples o compuestas y su misión es la obtención de nuevas proposiciones.
Veamos ahora cómo se halla la tabla de verdad de una proposición compuesta que viene definida por dos proposiciones simples. Por ejemplo: (p q). Los pasos a seguir son:
– Se forma la tabla de verdad conjunta de las proposiciones simples que forman la proposición. En este caso de p, q.
– Con lo anterior se forma la tabla de verdad de los operadores de menor extensión. En este caso de q.
– Se continúa el proceso en orden creciente hasta la proposición pedida. En este caso p q y por último (p q).
p q q pq (p q).
0 0 1 0 1
1 0 1 1 0
0 1 0 0 1 Tabla de verdad de la
1 1 0 0 1 proposición compuesta
Tautología
Es una proposición que es siempre verdadera, con independencia de la verdad o falsedad de Las Proposiciones simples que la componen.
Contradicción
Es una proposición siempre falsa, con independencia de la verdad o falsedad de las proposiciones simples que la componen.
Indeterminada
Es una proposición verdadera o falsa, dependiendo de la verdad o falsedad de las proposiciones simples que la componen.
Proposiciones equivalentes
Dos proposiciones son equivalentes si tienen la misma tabla de verdad.
(pVq) es equivalente a (pq)
Esta equivalencia la utilizaremos posteriormente. La propiead de las proposiciones equivalentes es que en una expresión lógica proposicional se puede sustituir una proposición por otra equivalente.
Leyes de la lógica proposicional
Son proposiciones tautológicas. La proposición a la izquierda del bicondicional es equivalente a la de la derecha. Las principales son:
Idempotentes:
p p p ; p v p p
Asociativas
(p q) r p (q r) ; (p v q) v r p v (q v r)
Conmutativas
p q q p ; p v q q v p
De absorción
(p q) v p p ; (p v q) p p
Distributivas
p (q v r) Cp q) v (p r) ;
p v (q r) Cp v q) (p v r)
Leyes de Morgan
(p q). p v q ; (p v q). p q
Leyes del complementario
p v p T (tautología) ; p p C (contradicción)
Interferencia lógica
Es el proceso mediante el cual a partir de proposiciones simples o compuestas, uniéndolas con conectivas lógicas, obtenemos nuevas proposiciones.
Este proceso se llama también RAZONAMIENTO. Las proposiciones de que partimos se llaman PREMISAS. La proposición a la que se llega se llama CONCLUSION.
Realicemos una inferencia sobre una tabla de verdad correspondiente a la conjunción y a la condicional:
p q pq pq
0 0 0 1
1 0 0 1
0 1 0 0
1 1 1 1
De la observación de la tabla podemos inferir que cuando la condicional es falsa entonces la conjunción es falsa, mientras que si la condicional es verdadera no podemos inferir nada sobre la conjunción, que puede ser verdadera o falsa. Si la conjunción es verdadera, podemos deducir que la condicional es verdadera.
Otro ejemplo de inferencia:
Primera premisa: El producto de números positivos es positivo.
Segunda premisa: 3 es un número positivo.
Tercera premisa: 2 es un número positivo.
Conclusión: El producto 2 x 3 = 6 es positivo.
Con independencia de los valores de verdad de las premisas podemos preguntarnos en qué casos el razonamiento que hacemos es válido.
Diremos que un razonamiento es válido cuando de la aceptación de las premisas como verdaderas se deriva la conclusión.
La construcción de las tablas de verdad para las premisas y la conclusión nos dirá si hemos realizado un razonamiento válido. En la tabla no se puede dar el caso de que siendo todas las premisas verdaderas, la conclusión sea falsa.
Veamos un ejemplo de razonamiento válido:
Primera premisa: Si llueve (p) las calles se mojan (q).
Segunda premisa: Llueve (p).
Conclusión: Las calles se mojan (q).
Construimos la tabla de verdad:
Premisas Conclusión
p q pq p q
0 0 1 0 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 1 1 1 1 Razonamiento válido
– Ejemplo de razonamiento inválido:
Primera premisa: p.
Segunda premisa: q.
Conclusión: p.
Premisas Conclusión
p q p p q
0 0 0 0 1
0 1 0 1 1
1 0 1 0 0
1 1 1 1 0 Razonamiento inválido pues de las premisas verdaderas sacamos una conclusión falsa.
Razonamientos elementales válidos
Modus ponendo ponens Modus tollendo tollens
1. p q 1. p q
2. p 2. p
Conclusión q Conclusión p
Modus tollendo ponens Simplificación
1. p v q 1. p q
2. p
Conclusión q Conclusión q
Adjunción
1. p q 1. p
Conclusión p v q Conclusión p v q
Simplifficación disyuntiva Silogismo disyuntivo
1. p v q 1. p v q
2. p r
3. q s
Conclusión p Conclusión r v s
Prueba formal de validez
Se trata de llegar a la conclusión a partir de las premisas establecidas y utilizando las leyes y razonamientos elementales.
– Veamos un ejemplo:
Premisas: 1. pq Si estudias apruebas.
2. rq Si tienes suerte apruebas.
Conclusión: (pvr)q Si estudias o tienes suerte
apruebas
Numerando los pasos del razonamiento tenemos:
Representación de un razonamiento
Un razonamiento válido lo representamos por P Q, donde P conjunto premisas;
Q conclusión.
En matemáticas un razonamiento válido se llama TEOREMA:
P se llama HIPOTESIS. Q se llama TESIS.
P Q se llama TEOREMA.
Condición necesaria. Condición suficiente
Cuando afirmamos que el teorema P Q es verdad, estamos diciendo que de las premisas P se sigue la conclusión Q. Lo que significa que:
P verdad es suficiente para que Q sea verdad.
Un razonamiento veíamos que era inválido cuando Q podía hacerse falso para P verdadero. Aquí estamos suponiendo P Q verdadero, luego la verdad de Q es necesaria para que P sea verdad, dicho de otra manera, si Q es falso, P ha de ser falso.
Resumiendo, si PQ verdadero
P es condición SUFICIENTE para Q
Q es condición NECESARIA para P
– Ejemplo:
Consideremos la recta
____________________________________
0 1 2 3 4 5
P: x es un punto de la recta comprendido entre el 2 y el 3.
Q: x está comprendido entre el O y el 5.
Si x no estuviera comprendido entre el O y el 5, de ninguna manera podría estar entre el 2 y el 3, luego Q es necesaria para P.
Por otra parte, si x está entre 2 y 3, está entre O y 5, luego P es suficiente para Q.
Aclaremos esto con conjuntos. Supongamos un conjunto A cuyos elementos cumplen una propiedad H, siendo B un subconjunto de A formado por los elementos que cumplen H’.
Condición necesaria y suficiente
Cuando son verdaderos los teoremas P Q y Q P, decimos que P es necesaria y suficiente para Q, y escribimos (P Q).

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