Funciones lógicas y Algebra de Boole

La actuación de un circuito digital está definido por su correspondiente función lógica.
* Se denomina función lógica a la expresión que relaciona las variables de entrada y salida de un circuito digital.
Así, por ejemplo, la función lógica de un circuito que opera una complementación – constituido por una simple puerta inversora- es:
_
s = a
Una función lógica más compleja es la que sigue:
_ __ ___
s = (a + b + d) (b·d + a·c)
En ella intervienen un total de cuatro variables lógicas de entrada, relacionadas por diversas operaciones lógicas.

El circuito digital que la sintetiza es el que reproduce la figura.

En el esquema se observa, paso a paso, la sucesiva síntesis de las operaciones lógicas que conducen a la resolución de “s”.

El circuito en cuestión está integrado por un total de diez puertas lógicas.

Realmente su complejidad podría ser inferior si antes de construir el circuito digital asociado se procediera a una simplificación de la función lógica “s”.

Los métodos de simplificación, cuya finalidad es minimizar la expresión de las funciones lógicas, y de esta forma economizar el número de puertas necesarias para su resolución práctica, será objeto de estudio en un próximo artículo.

Como se verá más adelante, el primero de los métodos de amplificación se basa en la aplicación directa de algunas propiedades y de teoremas del Algebra de Boole. Area que aporta el sustento teórico para el trabajo con funciones y circuitos lógicos.

Álgebra de Boole

Álgebra de Boole

Algebra de Boole

Se define como Algebra de Boole a todo aquel conjunto de elementos que pueden adoptar únicamente dos valores diferenciados (0,1) y que, relacionados por las operaciones de suma y producto lógico, verifican las siguientes propiedades:
* Propiedad conmutativa
Respecto a la suma lógica: a + b = b + a
Respecto al producto lógico: a·b = b·a
* Propiedad distributiva
Respecto a la suma lógica: a·(b + c) = a·b + a·c
Respecto al producto lógico: a + b·c = (a + b)(a + c)
* Elemento neutro
Respecto a la suma lógica: a + 0 = a
Respecto al producto lógico: a·1 = a
De ahí que:
“0” sea el elemento neutro en la operación suma, y “1” sea el elemento neutro en la operación producto.
* Elemento complementario
_
Respecto a la suma lógica: a + a = 1
_
Respecto al producto lógico: a · a = 0
_
Luego si a = 0 ® a = 1
_
y, viceversa, si a = 1 ® a = 0
Las operaciones internas definidas sobre los elementos de un Algebra de Boole coinciden con la suma lógica (función OR) y producto lógico (función AND).

Teoremas de un Algebra de Boole

Los seis teoremas que siguen son los principios y leyes más importantes que se verifican en un Algebra de Boole.
Todos ellos tienen una demostración analítica fundamentada en las propiedades que se cumplen en todo conjunto de elementos definibles como un Algebra de Boole.

* Primer Teorema: Principio de dualidad
Si en una igualdad cierta se efectúan simultáneamente las siguientes sustituciones, la igualdad resultante seguirá siendo cierta. Sustituciones: Suma lógica (+) por Producto lógico (·)
Producto lógico (·) por Suma lógica (+)
0 por 1
1 por 0
Por ejemplo, si se aplica este primer teorema sobre la igualdad representativa de la propiedad del elemento neutro respecto a la suma lógica, resulta la igualdad definitoria de la propiedad del elemento neutro aplicada al producto lógico:
a + 0 = a ® a · 1 = a

* Segundo Teorema
– Cualquier elemento de un Algebra de Boole sumado (función OR) con “1”, da como resultado “1”.
– Cualquier elemento de un Algebra de Boole multiplicado (producto lógico, funcíón AND) con “0”, da como resultado “0”.
Puesto en forma de expresión algebraica, este teorema adopta la siguiente formulación:
– a + 1 = 1
– a · 0 = 1
* Tercer Teorema
Para todo elemento “a” de un Algebra de Boole se verifica que:
a + a = a y a · a = a
La demostración es inmediata:
0 + 0 = 0; 0 · 0 = 0
1 + 1 = 1; 1 · 1 = 1
* Cuarto Teorema:
En un Algebra de Boole se demuestra que:
a + a·b = a y a (a + b ) = a
* Quinto Teorema:
En un Algebra de Boole se demuestra que:
a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c y que
a · (b · c) = (a · b) · c = a · b · c
* Sexto Teorema:
El complementario del complementario de un elemento coincide con el elemento original.
=
Esto es: a = a
= =
Lo que significa que: O = O y 1 = 1
* Séptimo Teorema:
El complementario de una suma lógica es igual al producto lógico de los complementarios de los diversos elementos.
__________ _ _ _
a + b + c +… = a · b · c …
El complementario del producto lógico de una serie de elementos es igual a la suma de los complementarios de los diversos elementos.
_______ _ _ _
a · b · c … = a + b + c +…

Mas informacion sobre este tema

    1. Agus 29/06/2014
    2. LUZ ANGELA BOVEA LOPEZ 11/11/2017

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