Expresión de las funciones lógicas

En la expresión algebraica de una función lógica intervienen un conjunto de factores relacionados por las operaciones de suma y producto lógico.

Por ejemplo, la siguiente función lógica está compuesta por el sumatorio de tres términos producto:
_ __ __
f = (a·b·c) + (b·c) + (a·c)

Dicha función posee tres variables lógicas: a, b y c. Las tres variables figuran únicamente en el primer término, mientras que los dos restantes términos relacionan exclusivamente a dos de las variables. En tal caso se dice que la función lógica f no está expresada en forma canónica.

Términos canónicos

Un término se denomina canónico cuando en él intervienen la totalidad de las variables de entrada. En la función mostrada anteriormente el primer término es canónico.

Una función lógica estará, pues, expresada en forma canónica cuando todos los términos que la componen sean canónicos.
Un ejemplo de función canónica, con tres variables de entrada, es el siguiente:
_ _ _ _ _ _
f = (a·b·c) + (a·b·c) + (a·b·c)

Más adelante se verá la importancia que en algunos casos reviste llegar a expresar en forma canónica una determinada función lógica.

Minterms y Maxterms

Partiendo de la tabla de verdad o de la definición en forma canónica de una función lógica, dicha función puede expresarse como:
– Sumatorio de Minterms ( S).
– Productorio de Maxterms ( P).
* Minterm: esta denominación se aplica a los términos canónicos cuya relación interna es la operación producto lógico.
* Maxterm: son términos canónicos relacionados internamente por la operación suma lógica.

Por ejemplo:
_ _ _
Minterm: (a·b·c·d)
_ _
Maxterm: (a+b+c+d)

Obviamente, al expresar una función lógica asociando un conjunto de minterms, la operación externa será la suma lógica. De ahí que la referida función aparezca representada como sumatorio de minterms.

Por contra, si la expresión se compone de un conjunto de maxterms, la operación externa será el producto lógico y, en consecuencia, estará definida como productorio de maxterms.

Paso de función canónica a sumatorio de minterms productorio de maxterms

El paso de una función representada en forma canónica a sumatorio de minterms o productorio de maxterms es inmediato, teniendo en cuenta la distribución de pesos en las variables de entrada y la correspondencia decimal de la configuración binaria asociada a cada término.

El procedimiento a seguir se detalla a través del siguiente ejemplo.
* Ejemplo 1
Se tiene la función lógica f cuya tabla de verdad es la indicada a continuación:
Ejemplo 1

De donde se deduce su correspondiente expresión en términos canónicos:
_ _ _ _ _
f = (a·b·c) + (a·b·c) + (a·b·c)
Los términos que integran la función lógica f son minterms ya que presentan una configuración semejante a la definida en su momento.
Atendiendo a la distribución de pesos reflejada en la tabla de verdad se deduce de inmediato la correspondencia decimal de cada minterm integrante de la función f:
Decimal de cada minterm

El número decimal asignado a cada término de f coincide con el número de
minterm que corresponde a su expresión canónica.
La expresión f como sumatorio de minterms será, pues:
Expresión f como sumatorio de minterms

­

Número de variables

Como puede apreciarse, los minterms pueden identificarse directamente sobre la tabla de verdad de la función lógica.
Para ilustrar con detalle el procedimiento de representación proponemos un segundo ejemplo.
* Ejemplo 2
Se trata de expresar en forma de sumatorio de minterms la función lógica que sigue:
_ _ _ _
f = (a · b · c · d) + (a · b · c · d)
En este caso, el número de variables que intervienen en la función f se eleva a cuatro: a, b, c y d.
Cabe recordar en este punto que a una variable no complementada se le asigna en lógica positiva un estado lógico alto (1), mientras que si se halla complementada le corresponde un estado lógico bajo (0).
Observando estas consideraciones se procede ahora a identificar los dos minterms que intervienen en la función f:
Ejemplo 2

* Ejemplo 3
El método es análogo si se desea obtener la expresión de una función lógica f como productorio de maxterms. Por supuesto, la función debe estar formulada en este caso como asociación de términos maxterms.
Por ejemplo, la función:
_ _ _ _ _ _ _ _
f =(a+b+c)·(a+b+c)·(a+b+c)·(a+b+c)
Tiene como productorio de maxterms la expresión siguiente:
f = (0,1,4,6)
3

Obtención de expresiones en forma canónica

A través de los ejemplos anteriores se vislumbra claramente la necesidad de poseer una función lógica en expresión canónica antes de proceder a su representación en forma sumatorio o productorio.

Como se ha visto, el procedimiento puede aplicarse directamente si se parte de la tabla de verdad de la función lógica, ya que ésta refleja claramente la correspondencia decimal de cada término.

El problema surge cuando la función lógica implicada está formulada a partir de un conjunto de términos no canónicos. En tal caso es evidente que el primer paso consiste en representarla en su forma canónica.
El método a seguir se fundamenta en la propiedad complementaria del Algebra de Boole, definida como sigue:
_
– a + a = 1 y
_
– a · a = 0
Es preciso conocer, asimismo, que el Algebra de Boole goza de la propiedad distributiva respecto a la suma y al producto lógico. Ello supone que se verifican las dos igualdades que siguen:
– a·(b + c) = ab + ac
– a + (b·c) = (a + b)·(a + c)
Partiendo de estas propiedades, el paso de expresión algebraica a forma canónica se reduce a aplicar el procedimiento que se detalla en el siguiente ejemplo:
* Ejemplo 1
Suponga una función lógica f de tres variables:
_ _
f = (a·b) + (a·c)
Los dos términos que la componen no incluyen las tres variables de entrada, sino que sólo aparecen dos de las variables en cada uno de ellos. La tarea a resolver consiste, pues, en lograr que todos los términos de f posean las tres variables de entrada.

En el caso propuesto los términos están afectados internamente por productos lógicos. Así pues, si cada uno de los términos es multiplicado por 1, el resultado coincidirá con el término inicial, ya que en la operación producto lógico el 1 es el elemento neutro.
Tomando el primer término de f es evidente que:
(a·b)·1 = (a·b)
En este punto vamos a utilizar la propiedad complementaria, por la cual: a + a =
1.
Comoquiera que 1 coincide con la suma lógica de una variable más su complementada, y como en la expresión del primer término falta la variable c, puede sustituirse el 1 que afecta al primer término por la expresión equivalente (c + c). En efecto:
(a·b)·1 = (a·b)·(c + c)
Ahora, y teniendo en cuenta la propiedad distributiva respecto a la suma, resulta que:
(a·b)·(c + c) = (a·b·c) + (a·b·c)
En consecuencia, el primer término de f puede sustituirse por los dos términos canónicos así obtenidos:
f = (a·b·c) + (a·b·c) + (a·c)
Aplicando el mismo tratamiento al segundo término de la expresión algebraica inicial de f, se llega a obtener la función lógica f en expresión canónica.
(a·c)·1 = (a·c)·(b + b) = (a·c·b) + (a·c·b)
En definitiva:
f = (a·b·c) + (a·b·c) + (a·b·c) + (a· b·c)
A partir de f en forma canónica puede pasarse de inmediato a su expresión como sumatorio de minterms
f = S (0,1,4,5,6)
3
Si en la función a tratar los términos están afectados internamente por la operación suma lógica y la relación entre términos se establece como producto lógico, debería aplicarse la segunda propiedad complementaria; por lo demás se procedería de forma análoga a la apuntada en el ejemplo. Obviamente la
expresión canónica que se obtendrá en tal caso coincidirá con un producto rio de términos maxterms.

Conversión entre expresiones sumatorio y productorio

A partir de las propiedades del Algebra de Boole se demuestra que cualquier función lógica puede expresarse como sumatorio de minterms o productorio de maxterms.
Al margen de las demostraciones más o menos extensas que verifican esta característica se expone a continuación el método a seguir para realizar la conversión entre expresiones S (sumatorio de minterms) y P (productorio de maxterms).
* Paso de S (minterms) a P (maxterms)
Se parte de la función f expresada como sumatorio de minterms; por ejemplo:
f = S (2, 3, 6)
3
– El primer paso consiste en obtener la función complementaria de f que incluirá los minterms (en este caso de tres vaiables) que no forman parte de la función f de partida:
f = S (0,1,4,5,7)
3
– Acto seguido se retorna a la función f aplicando una nuea complementación a f.
Esto es:
relación de conversión k
Siendo n el número de variables que intervienen en la función
– La expresión final sustituirá el símbolo S por P y estará formada por los maxterms cuyo número se obtiene restando el minterm correspondiente del módulo de conversión K:
(7-0) (7-4) (7-7)
¯ ¯ ¯
f = P ( 7, 6, 3, 2, 0)
3 ­ ­
(7-1) (7-5)
* Paso de P (maxterms) a S (minterms)
El procedimiento es semejante al aplicado en el caso anterior. Para comprobarlo, el siguiente ejemplo devolverá la función f expresada como producto de maxterms a su forma primitiva.
La función de partida es en este caso:

determinación de f obteniendo el módulo k

– Formulación de la función lógica f como sumatorio de minterms:
f = S (6, 3, 2)
3
Se comprueba, pues, que aplicando el mismo método se llega a la expresión de partida del ejemplo anterior.

Leave a Reply

  • Responsable: Octavio Ortega Esteban
  • Fin del tratamiento: Controlar el spam, gestión de comentarios
  • Legitimación: Tu consentimiento
  • Comunicación de datos: No se comunicarán los datos a terceros salvo por obligación legal
  • Derechos: Acceso, rectificación, portabilidad, olvido.
  • Contacto: Octavio[arroba]kerchak.com
  • Información adicional: Más información en nuestra política de privacidad