Conjuntos

Si enunciamos una propiedad y buscamos los objetos que la cumplen, tendremos un agregado al que llamamos CONJUNTO.
Notación: el conjunto se escribe entre llaves { }. Entre ellas se incluyen bien los elementos que forman el conjunto (esto sólo es posible si el conjunto es finito), o bien se escribe la propiedad que nos permite decidir si un elemento es del conjunto o no {x / x cumple la propiedad p} se lee conjunto de los x, tal que x cumple la propiedad p.
– Ejemplos:
– Conjunto de los seis primeros números naturales:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
– Conjunto de los números pares.
Conjunto: {z/z es divisible por 2} = {… – 4, – 2, 0, 2, 4…}

Elemento
Es cada una de las unidades que constituye el conjunto.
El número 2 es un elemento del conjunto de los pares.

Signo de pertenencia
Es un nuevo signo lógico que representaremos por el símbolo Î y que sirve de enlace entre dos objetos matemáticos p, q. Escribimos p Î q
– Se lee: p pertenece a q
– Significa: el objeto p es elemento del objeto q.
El objeto q se caracteriza por ser un conjunto de objetos.
– Negación: escribimos p Ï q
– Se lee: p no pertenece a q
Significa: p no es elemento de q.
Inclusión (subconjunto)
Diremos que el conjunto A está contenido en el conjunto B o que A es subconjunto de B cuando se cumpla la siguiente relación:
(«z) (zÎA«zÎB)
– Significa: todo elemento de A es elemento de B.
– Notación: AÌB leemos A contenido en B.
A subconjunto de B.
B€A leemos B contiene a A.
Ambas notaciones son equivalentes.
– Negación de AÌB.
Se escribe A€B y su significado es:
A€B cuando hay, al menos, un elemento de A que no es elemento de B.

acb

Teoremas

T1. AÌA
Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
T2. (AÌB)Ù(BÙA) « (A=B)
Este teorema expresa que dos conjuntos son iguales cuando todos los elementos de A son de B y todos los de B son de A.
T3. (AÌB)Ù(BÌ C)®(AÌC)
– Demostración:
Utilizaremos el método de demostración de la hipótesis auxiliar: suponemos que es verdadera la relación (AÌB)Ù (BÌC). Si demostramos que (AÌC) es verdadera, el método de la hipótesis auxiliar asegura que la proposición T3 es un teorema.
Construcción auxiliar:
(AÌB) significa («x) (xÎA®xÎB)
(BÌC) significa («x) (xÎB®xÎC) (Ambas son la hipótesis)
Para encadenar las hipótesis utilizamos el razonamiento elemental de lógica llamado ponendo ponens: pÙ(p®q) conduce a la conclusión q.
Partimos de («x) (xÎ A) como verdadero y usando la primera hipótesis tenemos (xÎA)Ù(xÎA®xÎB) conclusión xÎB.
Con esta conclusión y la segunda hipótesis
(xÎB)Ù(xÎB®xÎC) conclusión xÎC.
Partíamos de xÎA y hemos concluido con xÎC, que era lo que nos demostraba el teorema.
Complementario
Sea AÌX. Formemos la relación:
[ (zÎX)Ù(zÏA) ]
al conjunto de objetos z que verifica la anterior relación se le llama COMPLEMENTARIO de A en X.
Hagamos un diagrama:

complementario de a en x

la parte coloreada formaría el complemento de A en X.
– Notación: ÌxA = X-A = {z / (zÎX)Ù(zÏA)}
Conjunto vacio
Lo representaremos por el símbolo Ø.
Es el conjunto que se caracteriza por no poseer ningún elemento.
Veamos algunos resultados relacionados con este conjunto.
T4. («z) (zÏØ)
Un elemento cualquiera z no puede ser elemento del conjunto vacío.
T5. («X) (ØÌX)
Este teorema dice que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto. La demostración se basa en que la relación zÎØ®zÎX es una tautología, pues el antecedente es siempre falso, según T4.
Partes de un conjunto
Dado un conjunto X, llamaremos PARTES DE X al conjunto de objetos H que
cumplen la relación HÌX.
– Notación: P(X)
– Definición: P(X) = {H/HÌX}
– Ejemplo: Sea X = {1, 2, 3, 4} formemos todos los posibles subconjuntos de X que serán los elementos de P(X):
Sin elementos
Ø
Por el anterior T5 sabemos que Ø es subconjunto de cualquier conjunto, luego es elemento de P(X).
Con un elemento
{1}, {2}, {3}, {4}
Con dos elementos
{1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}
Con tres elementos
{1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4}, {2,3,4}
Con cuatro elementos
{1,2,3,4} = X, porque según T1 (inclusión), todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
P(X) = Ø , {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,2,4},
{2,3,4}, {1,3,4}, X}
Operaciones con elementos de P
Llamaremos U al conjunto referencial, es decir, un conjunto entre cuyas P(U) se encuentran los conjuntos con los que vamos a realizar las operaciones.

Unión
Sean A,BÎP(U).
Se define AUB (se lee A unión con B) al conjunto cuyos elementos son los de A o los de B.
AUB = { x/ (xÎA) v (xÎB) }
Intersección
Sean A,BÎP(U).
Se define AÇB (se lee A intersección con B) al conjunto cuyos elementos son los que pertenecen a la vez a A y a B.
AÇB = { x/ (xÎA)Ù(xÎB) }

Conjuntos disjuntos
Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen ningún elemento en común, es decir, cuando su intersección es el conjunto vacío, Ø.

conjuntos disjuntos

Pares
Dos objetos matemáticos escritos ordenadamente forman un nuevo objeto matemático llamado PAR que representaremos por (x,y).
– Ejemplos de pares de números: (8,9), (- 8,6), (1,2), (2,1)…
– Igualdad: (x,y) = (u,v)«x = u y = v
Producto de dos conjuntos
Dados los conjuntos X, Y, al conjunto de todos los pares que es posible formar, tomando como primer elemento del par a un elemento en X y como segundo elemento del par un elemento en Y, lo llamamos CONJUNTO PRODUCTO. Lo representamos por: X x Y.
– Definición: XxY = {z/z = (x,y)ÙxÎXÙyÎY}
– Ejemplo: sean los conjuntos A = {1,2} B = {a,b,c}
A x B = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}
B x A = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}
Podemos hacer una representación de los anteriores conjuntos.

Diagonal
Es el conjunto de los pares donde la primera componente coincide con la segunda componente.
– Definición: dado un conjunto A y construido su producto cartesiano AxA.

diagonal

Diagonal de AxA = {z/z = (a,a)ÙaÎA}