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Correspondencias y aplicaciones

Dados los conjuntos A y B, establecer una correspondencia entre ambos es dar una regla que permita unir elementos de A con elementos de B.

f
- Notación       A –> B
x –> y = f(x)

Origen: se llama así al conjunto A.
Llegada: se llama así al conjunto B.
Dominio: conjunto de elementos de A a los que corresponde alguno de B.
Imagen: conjunto de elementos de B que son el correspon diente de alguno de A.
Antecedente: se llama así a los elementos del dominio.
Consecuente: a los elementos del conjunto imagen.
f: usamos una letra para representar a la correspondencia.
f(x): representa el elemento imagen de x.
y = f(x): aquí llamamos y al elemento imagen de x
- Ejemplo:

ejemplo de correspondencia matemática

Podemos representar la anterior correspondencia mediante un diagrama en el que
los elementos relacionados se unen por una flecha.

representación gráfica correspondencia matemática

A B
x ——————–> 1
(x conduce sólo el coche 1)

y ——————-> 2
——————-> 3
(y puede conducir dos coches)

z ——————-> 4
t ——————->
(dos personas pueden conducir el mismo coche)

v ——————->
(personas con carnet y que no conduzcan)

——————–> 5
(coches con permiso de circulación no usados)

Correspondencia y conjunto producto

En el ejemplo anterior podemos establecer el siguiente conjunto de pares:
G= {(x,1), (y,2), (y,3), (z,4), (t,4)}

Los pares que forman el conjunto G son tales que el primer elemento del par es un elemento del dominio y el segundo elemento es el que le corresponde. Se representa por (x,f(x)).

Todos los elementos de G son elementos de AxB, por tanto, la correspondencia establece un subconjunto de AxB.

Recíprocamente dar un subconjunto de AxB es establecer una correspondencia del primero (A) en el segundo (B). Veamos esto con un ejemplo:
Elijamos un subconjunto de AxB
G’ = {(x,2), (t,5)}
Tendríamos la siguiente correspondencia:

ejemplo subconjunto axb

Por tanto:
Establecer una correspondencia del conjunto A en el conjunto B es dar un subconjunto de AxB y, recíprocamente, dar un subconjunto de AxB es establecer una correspondencia de A en B.

Aplicaciones

Aplicación es una correspondencia en la que todos los elementos del origen tienen una y sólo una imagen.
¿Son aplicaciones los siguientes ejemplos?

ejemplos de aplicaciones

1. No es aplicación porque hay en A un elemento que no tiene imagen.
2. No es aplicación porque en X hay un elemento con dos imágenes.
3. Es una aplicación por cumplir las dos condiciones exigidas:
- Todos los elementos de p han de tener imagen.
- Cada elemento de p ha de tener una sola imagen.
Veamos un ejemplo más teórico:
Hemos visto que definir una correspondencia es dar un subconjunto del conjunto producto.
ORIGEN x LLEGADA
Definimos dos correspondencias de esta manera:
Sean A = N = números naturales = {0, 1, 2, …}
B = N = números naturales
Definimos el subconjunto G de A x B diciendo:
G = { (x,y) / y = 2x}
esta aplicación hace corresponder a cada número su doble. Lo representamos por
f: N -> N
x -> y = 2x
x= 7 -> y = 2·7 = 14
Esta es una aplicación de los naturales en sí misma.
- Otro ejemplo:
Con los mismos conjuntos A = N, B = N definimos G’
G = {(X,y) / X² + y² = 10}
estudiemos la correspondencia:
N -> N Explicación
0 -> no hay Para x=0 la y tiene que cumplir
0² + y2= 10 como el conunto de llegada es el de los naturales,
hemos de buscar un natural que
cumpla y2 = y·y= 10
1 -> 3 1+y2= 10 luego y2=9, y=±3,
pero recordemos que las imágenes para esta
correspondencia son
naturales, luego y= +3
2 -> no hay
3 -> 1
El resto de los naturales NO tiene imagen.

Esta correspondencia no es aplicación.

La ecuación x² + y² = 10 representa una circunferencia de radio 10. Los elementos de G’ serán los naturales que cumplan la ecuación, y su representación sería:

x²+y²=10

Tipos de aplicaciones

Inyectiva. Una aplicación es inyectiva cuando el elemento del conjunto de llegada que es imagen, lo es de un único elemento del conjunto de origen.
Suprayectiva. Una aplicación es inyectiva cuando el elemento del conjunto de llegada que es imagen, lo es
de un único elemento del conjunto de origen.
Biyectiva. Cuando es a a vez inyectiva y suprayectiva.

tipos de aplicaciones